李志强

(1.上海大学理学院, 上海 200444;2.吕梁学院数学系, 山西吕梁 033001)

近几十年来, 分数阶微积分在科学与工程技术的各个领域获得了广泛的应用, 分数阶(偏)微分方程的理论研究也得到极大发展[1-4].本工作研究时间-空间分数阶偏微分方程

式中:表示α阶Caputo 导数算子,α ∈(1,2);(−∆)s表示分数阶Laplace 算子,s ∈(0,1);初值u0(x)、u1(x)和源项f(x,t)是已知函数;d ∈N.

函数f(t)(t>0)的α阶Caputo 导数[2]定义为

式中:n −1<α

对于给定的函数v(x)(x ∈Rd), 积分形式的分数阶Laplace[5]定义为

式中: P.V.表示积分取主值;

2013 年Ma 等[6]研究了时间分数阶偏微分方程解的渐近性态, 其中时间分数阶导数是在Caputo 和Riemann-Liouville 意义下的, 其导数阶满足0<α <1 或1<α <2, 而空间方向是标准的Laplace 算子.随后, Kemppainen 等[7-8]拓展了已有结果, 并进一步讨论了带有分数阶Laplace 算子的时间-空间分数阶扩散方程解的渐近行为, 其中时间导数是α(0<α <1)阶的Caputo 导数.最近, Li 等[9]研究了时空分数阶偏微分方程, 其中时间导数是Caputo-Hadamard 分数阶导数, 空间导数是分数阶Laplacian.Djida 等[10]探讨了时间-空间分数阶偏微分方程解的估计等.本工作主要研究时间-空间分数阶偏微分方程解的梯度估计和长时间行为.

1 预备知识

1.1 Fox H-函数的定义与性质

FoxH-函数[2,11-12]是一类重要的特殊函数, 可以用来表示方程(1)的基本解.

令m、n、µ、ν是整数且满足0 ≤m≤ν和0 ≤n≤µ.对于al,bj ∈C 和αl,βj ∈R+(l=1,2,··· ,µ;j=1,2,··· ,ν), FoxH-函数(z)定义为

式中:

且极点

和

不重合, 即

L表示Mellin-Barnes 围道积分曲线;极点τ=bjσ和极点τ=alk分别位于曲线L左右两边.

H-函数具有以下两个简单的性质:

(1) 如果存在l(l=n+1,n+2,··· ,µ)和j(j=1,2,··· ,m)使得al=bj, 那么有

(2) 令ζ,c ∈C,θ >0,k ∈N0=N∪{0}, 则H-函数有下列微分公式

接下来给出H-函数在无穷远处和零点的渐近展开.令

引理1[11]假设式(6)成立且式(5)表示的极点是简单极点.如果a∗>0,z ̸=0且则H-函数的幂级数展开式为

式中:

引理2[11]假设引理1 的条件成立, 则有

其中系数hl=hlk(k=0),hlk见引理1.

引理3[8]假设式(6)成立且满足a∗>0,z ̸=0 和|argz|<, 那么有

式中:

∑′表示Gamma 函数在bj0(j=1,2,··· ,m)处对所有简单极点的求和;∑′′是Gamma 函数在bj0(j=1,2,··· ,m)处对所有阶极点的求和.

1.2 Lp 空间和Young 不等式

令X是测度空间,ω是X上的正测度.对于0

为弱Lp(X,ω)空间, 其中和df(γ) =ω({x ∈X:|f(x)| >γ})表示f的分布函数.弱Lp(X,ω)空间的Young 不等式[13]如下:

(1) 设1 ≤p, q, r≤∞满足则有

(2) 设1 ≤p<∞, 1

(3) 设1

2 解的梯度估计

文献[10]已经给出了方程(1)解的表达式并讨论了解的渐近行为, 因此本工作讨论解的梯度估计.首先, 研究基本解在Lp(Rd)或弱Lp(Rd)范数意义下的估计;然后, 在初值和源项分别等于0 的情形下, 利用Young 不等式得到解的梯度估计.

方程(1)的解[10]为

式中:

“∗”表示空间卷积;“⋆”表示时间和空间同时进行卷积.

由于基本解用H-函数表达, 利用前述H-函数的性质和引理, 可求得基本解的梯度估计.令R=t−α|x|2s, 首先考虑基本解G0(x,t)的估计.

定理1已知d ∈N, 1<α<2, 0

证明 由式(8)可知

从而有

此时a∗=2−α>0.

现在证明式(16).当R>1 时, 由引理1 和2 可得

因为

所以

且有

于是存在常数M(≫1)使得

结合式(19)和(20), 可得

下面证明式(17).

当d>2s时, 因为b10=−1是简单极点, 故由引理3 可知

因此, 存在常数δ0(0<δ0≪1)使得

结合式(21)和(22), 可知

当d=2s时, 由式(7)和(18)可知

因为b10=−1和b20=−2是简单极点, 由引理3 可以得出

同理, 可得

当d<2s时, 因为b10=−1 和是两个简单极点, 但

再次利用引理3, 可得

于是有

成立.进一步可以得到

综合式(23)、(24)和(25)可知

定理证毕.

类似地, 可以证明下述定理.

定理2已知d ∈N, 1<α<2, 0

定理3已知d ∈N, 1<α <2, 0

(1) 如果R>1, 则有

(2) 如果R≤1, 则有

下面给出基本解G0(x,t)、G1(x,t)和Gf(x,t) 在Lp(Rd)和Lp,∞(Rd)意义下的梯度估计, 其证明方法可参考文献[7-8], 故证明略.

为方便,记|

定理4已知d ∈N, 1<α<2, 0

定理5已知d ∈N, 1<α<2, 0

定理6已知d ∈N, 1<α<2, 0

(1) 设1 ≤p<λ(d,s), 则对任意的t>0, 有∇Gf(x,t)∈Lp(Rd;Rd)且满足估计

(2) 如果p=λ(d,s)和d+2>4s, 那么且成立不等式

注:若d+2<4s, 由定理3 可知, 对任意的t>0,∇Gf(·,t)∈L∞(Rd;Rd) 且满足

当源项f ≡0 时, 下面给出方程(1)解的梯度估计.

定理7已知d ∈N, 1<α <2, 0

(i) 如果1

(ii) 如果u0(x), u1(x)∈L1(Rd), 那么有

对于(ii), 同样利用弱类Young 不等式(式(10))、定理4 和5, 可得

定理证毕.

在初值u0和u1恒等于0 的情况下，当源项f满足一定条件时, 同样可以得到解的渐近行为.

定理8已知d ∈N,1<α <2,0

那么对任意的t>0, 解u(x,t)=Gf(x,t)⋆f(x,t) 有估计式

证明略.

3 解的长时间行为

引理4[6]设g(x)∈L1(Rd)满足∫Rd|x|·|g(x)|dx<∞.则存在Φ(x)∈L1(Rd;Rd)使得

其中δ是Dirac-Delta 函数, div(Φ(x)) 表示函数Φ(x)的散度且有

下面讨论源项f ≡0 时解的长时间行为.

定理9已知d ∈N,1<α <2,0

(1) 若|||x|u0(x)||1<∞和|||x|u1(x)||1<∞, 那么有

(2) 当t →∞时, 有

证明 (1) 由条件u0(x)∈L1(Rd),|||x|u0(x)||1<∞和引理4, 存在函数Ψ0(x)∈L1(Rd;Rd), 使得

成立, 其中Ψ0(x)满足||Ψ0(x)||1≤C|||x|u0(x)||1.

同理, 存在函数Ψ1(x)∈L1(Rd;Rd)使得

成立, 其中||Ψ1(x)||1≤C|||x|u1(x)||1.于是, 可得

式中:·∗表示向量函数的卷积, 即

故有

(2) 选取序列{ϕk(x)(Rd) 使得并且满足在L1(Rd)范数意义下ϕk(x)→u0(x).类似地, 可取序列{ψl(x)(Rd) 使得Rd ψl(x)dx=M1(l=1,2,···)且在L1(Rd)中ψl(x)→u1(x).由式(9)、定理(1)和文献[10]中的引理4.4和4.5, 对于任意的k、l, 可得

因此,

令l →∞, 定理得证.

最后考察初值u0=u1≡0 时方程(1)的解在t →∞时的情况.为方便起见, 记

定理10已知d ∈N,1<α<2,01使得f(x,t)满足条件

如果1 ≤p≤∞(d<4s)或者1 ≤p<κ(d,s)(d≥4s), 那么对于u(x,t)=Gf(x,t)⋆f(x,t)成立

证明略.

致谢上海大学李常品教授对本工作提出了宝贵的意见, 在此致以衷心的感谢!