张 婷，康 明

(天津师范大学物理与材料科学学院，天津 300387)

光子晶体借鉴固体物理中的晶体概念，是由具有不同折射率的介质按一定周期排布而成的新型光学微结构材料[1-2]。在光子晶体中原子或分子被具有不同介电常数的宏观介质取代，周期势被周期的介电函数所取代。由于周期电磁响应函数的出现，光在传播时将受到调制从而形成类似于晶体中电子的能带结构，这种能带结构被称为光子能带。在对光子晶体的分析和研究中，光子晶体能带结构[3]是理解光子晶体光学性质的核心内容，也是利用光子晶体调控光场的关键因素。

最近，在光子晶体能带调控学领域，无色散的平带结构引起了人们极大的关注。目前对光子晶体平带的研究主要集中在探索它们的基本物理性质和潜在应用。Mukherjee等[4]实验上演示了光波导阵列中Lieb晶格中的无色散平带，并分析了对应平带态的演化过程。Leykam等[5]详细讨论了不同类型的光学平带模型如何在光波导阵列、冷原子体系和超材料中实现，并进一步在此基础上阐明了其应用以及未来的可能方向。Yang等[6]从理论上研究了二维光子晶体中平带的拓扑性质，探讨了非零陈数拓扑平带的可能性。

一般而言，无色散的平带仅仅出现在布里渊区的部分区域，并不能覆盖整个布里渊区。目前通常有两类方法能够实现整个布里渊区平带：第一种是光子晶体原胞中引入更多的“原子”及其耦合，通过调控这些多“原子”的相互耦合获得整个布里渊区的平带，如二维体系中的Lieb格子以及kagome格子[7-9]。徐常清[10]基于能带调控的理论方法，通过设计二维正方格子电介质光子晶体的复合结构实现了覆盖整个布里渊区的全平带。另一种是通过提高光子晶体中介电常数对比度来提高本征波函数的局域性来获得整个布里渊区的近平带。

近几年，在改变内置材料介电常数来提高介电常数对比度进而获得全布里渊区平带方面的研究已经相当成熟。通常的方法是提高光子晶体中某种介质材料的介电常数来提高其介电常数对比度，从而获得近平带。然而，在光学波段，利用介质材料来进一步提高介电常数而获得大的介电常数存在一定的难度，所以为介电常数比的提高设置了障碍。降低背景材料介电常数，其实也可以变相提高介电常数对比度，从而提高本征波函数的局域性。在这样的情况下，光子晶体能带结构中是否也会有全布里渊区平带出现呢?现以二维介质圆柱正方格子光子晶体为例，利用有限元方法从数值角度针对降低背景材料介电常数来提高介电常数对比度从而获得平带进行了研究，并仔细比较了这两种提高介电常数对比度的方法对能带平整性的影响。

1 计算模型与方法

光在光子晶体中的传播可由麦克斯韦方程组来描述。谐波模式下求解光子晶体本征能量的本征方程一般表示为

(1)

式(1)中：H为磁场；ε(r)为介电函数；r为位置矢量；ω为本征频率；c为真空中的光速。二维光子晶体中可有TE和TM两种极化模式，在TE极化模式下，磁场与波传播的所在面平行，而电场与传播平面垂直。在 TM 极化模式下，电场与波传播的平面平行，而磁场与波传播的平面垂直。这里仅考虑TE模式的本征值问题。

目前光子能带的数值计算方法有很多种，主要有平面波展开方法[11]、时域有限差分方法[12]及传输矩阵法[13]。利用这些数值计算方法能够方便地计算出光子晶体的能带结构。一般可以用传输矩阵法来计算一维光子晶体的能带，平面波展开法来计算二维光子晶体的能带，时域有限差分法来计算三维光子晶体的能带。然而，对于具有复杂结构的光子晶体，平面波展开法比较难以收敛，而时域有限差分方法精度会降低。有限元方法作为一种成熟的数值计算方法，能够对复杂结构的光子晶体进行精度较高的能带计算。为了获得不同介电常数对比度情况下的二维介质柱光子晶体能带结构，采用了有限元方法[14-15]来研究TE模式下的能带。

图1所示为所研究的二维介质柱光子晶体的原胞结构示意图，晶格常数为a，介质柱的半径r=0.2a，介电常数为ε1，背景材料的介电常数为ε2。

图1 二维介质柱光子晶体原胞示意图

2 模拟与分析

2.1 同种方法不同介电对比度下能带图的比较

选择空气作为背景材料，ε2=1，介质柱的介电常数值分别取ε1=10和ε1=36。图2所示为这两种情况下二维介质柱光子晶体TE模式的能带图。本征频率使用归一化的本征频率ωa/(2πc)，单位为1。如图2(a)所示，当介质柱和背景材料的介电常数比ε1:ε2=10∶1时，二维介质柱正方晶格的光子能带中并没有出现平带。不改变晶格常数和背景材料，仅改变介质柱的介电常数，如图2(b)所示，随着原胞中圆柱介电常数的提高，当原胞中圆柱介电常数为ε1=36时,在光子晶体简约布里渊区出现了平带，如第8条能带。此时，其他能带也不同程度地变得较为平坦。由此可见，通过提高原胞中圆柱的介电常数来提高介电常数对比度可以使得整个布里渊区出现平带。

图2 二维介质柱光子晶体TE模式能带图

提高介质柱介电常数可以提高两种材料的介电常数对比度，从而提高本征态波函数的局域性。当然，降低背景材料的介电常数也可以变相地提高介电常数对比度。取介质柱的介电常数值为ε1=10，背景材料的介电常数值为ε2=0，如图3所示，得到了这种情况下二维介质柱正方晶格TE模式能带图。

图3 二维介质柱光子晶体TE模式能带图

与图2(a)的情况进行比较，在图2(a)中介质柱和背景材料的介电对比度为ε1∶ε2=10∶1时，前10条能带中不存在平带。然而，当保持介质柱的介电常数值不变，通过将背景材料的介电常数降低到0，来提高介电常数对比度时，由图3明显发现光子带中出现全布里渊区平带。因此，通过降低背景材料介电常数变相提高介电常数对比度，提高本征波函数的局域性也可以使得整个布里渊区出现平带。

2.2 不同方法相同介电对比度能带图的比较

以上是在只改变介质柱介电常数值来改变介电对比度及只改变背景材料介电常数值来改变介电对比度的两种情况下，对二维介质柱正方晶格的光子能带图进行了分析。如果同时改变介质柱和背景材料的介电常数值，但保持介质柱和背景材料的介电对比度相同，在相应的能带图中又将有什么新的发现呢？图4(a)～图4(d)分别是在不改变晶格常数、介质柱半径条件下，介质柱与背景材料介电常数比值为8.9∶1、4.45∶0.5、72∶1、36∶0.5时，TE模式二维介质柱正方晶格的光子能带图。

由图4(a)可知，当空气中圆柱介电常数为ε1=8.9时，在整个布里渊区并没有出现平带。但是在保持两者介电对比度不变，同时降低介质柱和背景材料介电常数值时，如图4(b)所示，光子晶体布里渊区中的能带不同程度的变平坦。同理，对比图4(c)和图4(d)也能得到这一结论。如图4(b)和图4(d)所示，维持与图4(a)和图4(c)相同的介电常数对比度，取圆柱与背景材料的介电常数分别为4.45∶0.5和36∶0.5。进一步发现，将背景材料和介质柱的介电常数同时降低，当介电常数对比度较小时，如图4(b)所示，整个布里渊区也不会出现平带。但是当介电常数对比度较大时，整个布里区有平带的出现，如图4(d)中的第7条能带。可见，通过同时降低背景材料和介质柱的介电常数来提高介电常数对比度也可以使得整个布里渊区出现平带。

在介电常数对比度一致时，图4(c)和图4(d)中第7条能带即全布里渊区平带对应的频率位置并不相同。为了进一步理解平带形成的物理机制，图5给出它们各自在高对称点Γ、Χ、М的本征电场分布。从图5(a)～图5(c)可以看出，当介质柱的介电常数值为72，背景材料的介电常数值为1时，全布里渊区平带在不同高对称点的本征电场分布都呈现相同的电六级矩分布。这使得近邻圆柱间相互作用很弱，光场能量主要局域在介质圆柱内，从而获得整个布里渊区的平带。当介质柱的介电常数值为36，背景材料的介电常数值为0.5时，情况也是如此，但相比之下光场能更好地局域在介质圆柱内，如图5(e)～图5(f)所示。

图4 二维介质柱光子晶体TE模式能带图

图5 全布里渊区平带高对称点处本征态的场图

2.3 改变介电常数对比度的不同方法对能带平坦程度的影响

为了进一步研究不同情况下介电常数对比度改变对能带平坦程度的影响，给出了不同介电常数对比度情况下目标平带方差的变化。目标平带的方差可以用来衡量平带的平整程度，其定义为

(2)

图6 平带波矢量的特征频率方差与介电对比度的关系

改变介质柱介电常数时，维持背景材料的介电常数为ε2=1。当改变背景材料的介电常数时，维持介质柱的介电常数为常数ε1=36。由图6可以看出，在一定范围内，随着介电常数对比度的增加，平带的方差越来越小，会提高波函数的局域。当对比度较小时，降低背景材料的介电常数会更明显地减小平带的方差，而当对比度较大时，提高介质柱的介电常数会较好地减小平带的方差。

3 结论

以二维介质柱正方格子光子晶体为例，利用有限元方法，在不改变晶格常数和介质柱半径的前提下，研究了通过改变背景材料和介质柱的介电常数来改变介电常数对比度的不同方法对平带平整性的影响，得出以下结论。

(1)不改变背景材料，只提高介质柱的介电常数值，随着介质柱介电常数的增加，介质柱和背景材料的介电对比度的提高，在整个布里渊区中会有平带出现。

(2)不改变介质柱的介电常数值，只改变背景材料，发现降低背景材料介电常数变相提高介电常数对比度也可以产生整个布里渊区的近平带。

(3)对于确定的介电常数对比度，在保证对比度不变的前提下，同时降低背景材料和介质柱的介电常数值，发现此时光子能带中的能带均不同程度的变平坦。在这种情况下，进一步发现同时降低背景材料和介质柱的介电常数值，来提高介电对比度时，平带也会出现在布里渊区中。

(4)通过平带的方差比较，对于降低背景材料和提高介质柱介电常数这两种改变介电对比度的不同方法来说，发现在某些情况下，与通过增大介质柱的介电常数来提高平带的平整性相比，降低背景材料介电常数值的方法将会得到更平坦的全布里渊区平带。