陈鑫楠，孙 渊

（上海电机学院机械学院，上海 201306）

近年来，电力系统向大电网、高电压和远距离输电发展，在提高经济效益的同时带来了电力系统安全运行的新问题［1-3］。由于电网规模和负荷需求的不断增加，电力系统逐渐接近稳定极限［4］。因此，电力系统电压稳定性成为了研究的热点。相量测量单元为电压稳定的研究提供了新的手段，基于相量测量数据的戴维南等值参数在线辨识方法得到了广泛的发展。由于戴维南等值参数受网络拓扑和系统运行方式等影响，因此对其准确辨识是实现电网静态稳定在线评估的关键［5］。

1999年，Vu等［6］首次运用本地相量测量数据求解戴维南等值参数，利用节点负荷阻抗与戴维南等值阻抗的关系进行电压稳定性评估，并应用最小二乘法根据相邻两个采样时刻测得的电气量信息进行戴维南等值参数的估算。此后，国内外许多学者对戴维南等值参数的估计方法进行了研究与改进。肖俊等［7］就等值网络扰动状况下的戴维南等值参数辨识原理进行阐述，考虑利用扰动后的暂态分量进行等值参数辨识的方法。李东东等［8］对基于传统法假设相邻采样时刻戴维南等值参数不变的情况进行了改进，仅假设相邻时刻戴维南等值参数的幅值不变、相角可变，利用幂级数展开求解戴维南等值参数，避免了参数漂移的问题。叶平峰等［9］提出了考虑源网荷关联特性的戴维南等值参数解析方法。上述方法均是基于两个或多个时间断面的数据进行戴维南等值参数辨识，要求相邻时刻戴维南等值参数保持不变，在该情况下的算法对等值系统的扰动有一定的要求，当等值系统内部扰动较大或负荷侧扰动过小时，常无法辨识准确的戴维南等值参数。

初值的选择问题是单时间断面算法的共同问题。朱良涛等［10］将全微分算法进行改进，提出初值优选环节，将前一时刻求出的等值参数作为下一时刻的计算初值进行迭代求解。崔馨慧［11］提出了一种基于广域量测信息的大电网戴维南等值参数在线辨识方法，根据大电网的单状态断面数据，对整个系统进行LU分解，减少了参数辨识的时间。

偏最小二乘法常应用于电力系统公共耦合点处的谐波阻抗估计中。林顺富等［12］提出一种基于改进快速独立成分分析及偏最小二乘法的系统谐波阻抗估计方法，降低解混信号变量之间弱相关性带来的计算误差。范忠等［13］提出了一种基于三点筛选法与偏最小二乘法的系统谐波阻抗估计方法。张坤等［14］将偏最小二乘法应用于公共耦合点处的戴维南等值参数估计中，但仅考虑了算法适用于系统侧基本不变而用户侧有较大波动的数据情况，未考虑其他扰动情况。

本文提出了一种基于复数域偏最小二乘法的电力系统戴维南等值参数跟踪算法。该方法简化了传统偏最小二乘法的数学模型和算法流程，使迭代求解过程更加简单。同时，该方法能够改善参数漂移现象，甚至在等值系统内部存在扰动时也能稳定辨识出戴维南等值参数。通过IEEE 39节点系统进行仿真验证了本文算法的有效性和准确性。

1 传统戴维南等值参数计算解析

根据戴维南等值理论可知，任意线性系统在任一时间断面可等值为一个电压源与阻抗串联的两节点系统，如图1所示。为表述简便，将系统中除等值节点负荷以外的其他部分统称为系统侧，将包含等值负荷的一侧称为负荷侧。

图1 戴维南等值系统

根据基尔霍夫电压定律可得

式中：为戴维南等值电势；Zth为戴维南等值阻抗；˙为等值母线节点的电压与电流的测量值。

根据传统法的假设，相邻采样时刻戴维南等值参数不变，即可求出戴维南等值阻抗值为

若上述假设需成立，要求系统在相邻采样间隔内负荷侧有合适扰动，系统侧扰动基本不变。若采样间隔过于接近或负荷侧扰动过小，则相邻采样间隔内电压电流相量数值近似相等，式（2）会出现“0/0”的形式，出现参数漂移；若采样时刻间隔过大，则上述假设不成立，无法计算戴维南等值参数；若只有系统内部发生扰动，依据传统法计算得到的结果实际为负荷阻抗，求解的参数结果失效。

2 戴维南等值参数

2.1 偏最小二乘法原理

偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，该方法可以实现多因变量对多自变量的回归建模［15］。特别是在自变量存在严重多重相关性时，用偏最小二乘法进行回归分析，比传统多元回归分析更适合。偏最小二乘回归模型更容易辨识系统中的信息和噪声，对每一个自变量的回归系数更容易解释。

设自变量与因变量的数据表分别为：X=[x1，x2，…，x p]n×p，Y=[y1，y2，…，yq]n×q（p个 自变量，q个因变量，n个采样点）。在回归分析前，先将自变量、因变量标准化，得到X的标准化矩阵为E0，Y的标准化矩阵为F0。偏最小二乘回归分别在E0、F0中提取成分t1和u1（两者分别是p个自变量和q个因变量的线性组合）。t1=E0ω1，ω1为E0的第1个轴，‖ω1‖=1；u1=F0c1，c1为F0的第1个轴，‖c1‖=1。要求t1、u1满足两个要求：

（1）t1、u1应携带各自数据表中的变异信息；

（2）t1、u1的相关程度能够达到最大。

上述要求可以转化为t1、u1的协方差达到最大，即为：max cov(t1，u1)。根据拉格朗日算法转化为求解矩阵的特征值和特征向量的问题。待求解矩阵如下：

式中：ω1为E′0F0F′0E0矩阵取最大特征值θ21的特征向量；c1为F′0E0E′0F0矩阵取最大特征值θ21的特征向量。

在简化偏最小二乘法中，只求取ω1，则回归方程可以表示为

其中，

式中：E1、F1为残差矩阵；p1、r1为回归系数向量。

用残差矩阵E1、F1代替E0、F0进行迭代求解。简化偏最小二乘法只需用残差矩阵E1代替E0，无需用F1代替F0，即可求解式（3）中的矩阵进而迭代求解。根据迭代精度要求，由交叉有效性确定提出m个成分，建立F0关于m个成分的回归方程如下：

最后经标准化的逆运算，根据上述回归方程求出因变量yi（i=1，2，…，p）关于自变量x i的回归方程，即

式中：αi（i=1，2，…，p）为所要求的原回归系数。

2.2 基于传统偏最小二乘法的数学模型

将式（1）中的电压、电流等相量按实部、虚部展开为

式中：下标real、imag分别为相量的实部和虚部；Rth为戴维南等值电阻；Xth为戴维南等值电抗；Ereal、Eimag、Rth、Xth为待求的戴维南等值电势和阻抗值。

选取自变量X为电流实部相反数和虚部形式，即为［-Iireal、I iimag］，因变量为节点电压的实部和虚部，即为[U ireal、U iimag]，其中上标i代表量测次数。将式（8）扩展为

传统偏最小二乘法常使用上述电压电流相量实部虚部分离的矩阵形式进行戴维南等值参数的计算。应用多因变量的算法流程，计算复杂，且求解时间长，求解的戴维南阻抗矩阵的两个电阻或电抗值常有偏差，参数的求解结果常存在误差，造成求解不准确。

2.3 基于复数域偏最小二乘法的数学模型

复数域偏最小二乘法是将电压、电流、电势的复数形式代入式（1）中。由式（1）可得，=Ereal+jEimag为需要辨识的戴维南内电势，˙=Ureal+jUimag为量测的节点电压相量，˙=Ireal+jIimag为量测的节点电流相量，Zth=Rth+jXth为需要辨识的戴维南阻抗。根据复数域偏最小二乘法，选取自变量X为负荷节点电流复数形式［˙］，即为［-I ireal-jI iimag］，因变量Y为负荷节点电压复数形式，即为［U ireal+jU iimag］。将式（1）扩展为

在计算戴维南等值参数时选取n次等值节点处电压电流采样值为一组数据，将采样的电流、电压的实部和虚部数据改写成I˙、U˙的复数形式进行标准化，将标准化后的自变量E0和因变量F0代入式（3）中，求解矩阵特征值和特征向量，并进行成分t和残差矩阵E1的求解；将E1代入式（3）进行迭代求解，直到满足交叉有效性要求，求出所有成分得式（6）；根据标准化逆运算求出式（7）中回归系数，求解得出的戴维南等值参数为复数形式。

传统偏最小二乘法求解戴维南等值参数时，需对式（8）和式（9）中的阻抗矩阵进行求解。式（9）的表达式在求解时实际上运用了两次基尔霍夫电压定律。在求解的过程中要求|Ureal-f(Rth，Xth，Ereal)|以及|Uimag-f(Rth，Xth，Eimag)|的数值同时达到最小，相当于两个函数的最小二乘误差都最小。但两个最小二乘误差不能同时达到最小值，求得的电阻电抗值与准确值相比存在一定的误差，无法正确地跟踪戴维南等值参数，造成参数漂移问题。而运用复数域偏最小二乘法进行戴维南等值参数求解时，传统方法中的公式简化成了|U-f(Rth，Xth，Eth)|的求解过程，应用式（10）进行阻抗矩阵求解时，只需列写一遍基尔霍夫电压定律。因此，求解一个函数的最小值，无需在求解过程中均衡求解误差，直接可以得到复数偏最小二乘法的极值。求解得到的极值点是明确的，可得到唯一的复数形式的阻抗值。与传统偏最小二乘法相比，该算法可以得到更准确的戴维南阻抗值，有效地改善参数漂移的问题。

3 算例分析

本文在DIgSILENT/PowerFactory 15.0中搭建的IEEE 39节点标准系统，含有10台发电机、39个节点、12台变压器和34条输电线路。其系统拓扑结构如图2所示。

图2 IEEE 39节点系统

算例1在本算例中设置负荷8为戴维南等值节点，负荷8处的负荷事件视为负荷侧扰动，负荷21处的负荷事件视为系统内部扰动。设置仿真时长为8 s，负荷8处设置负荷斜坡增长，增长幅度为60%，系统其他负荷保持不变。由暂态仿真程序计算得到每0.2 s内20组电压、电流仿真值，以每20组仿真数值为一组，应用算法得到一组戴维南等值参数值。图3为该算例仿真结果图。

图3 戴维南等值参数仿真结果

由图3可知，在等值系统中仅有较明显的外部扰动时，传统偏最小二乘法和复数域偏最小二乘法均能计算出相对稳定的戴维南等值参数，但复数域偏最小二乘法得到的戴维南等值参数更加准确。

图4为本文算法与传统偏最小二乘法得到的戴维南等值参数标准差对比图。

图4 戴维南等值参数标准差结果

由图4可知，传统偏最小二乘法的戴维南等值阻抗标准差随时间变化较大，标准差大多在0.08～0.12之间上下波动，而复数域偏最小二乘法的标准差在0.01上下浮动。可见传统偏最小二乘法的等值阻抗标准差是复数域偏最小二乘法的8～12倍。表明在两种算法都能得到较稳定的戴维南等值参数时，复数域偏最小二乘法跟踪得到的戴维南等值参数更加稳定。

算例2在本算例中设置的等值节点同算例1中的相同，设置仿真时长为8 s。负荷8处设置负荷斜坡增长，增长幅度为40%，系统其他负荷保持不变。运用不同的分组计算一组戴维南等值参数。图5给出了不同分组计算下的仿真结果对比图。

图5 不同分组情况的戴维南等值参数仿真结果

由图5可知，传统偏最小二乘法仿真得出的戴维南等值参数随着分组数的减少（即每次迭代的仿真数据越多）而逐渐稳定，振荡情况改善越好，得到的数值越准确。传统偏最小二乘法受数据量的影响较大，不同数据分组情况对算法的稳定性影响不一。复数域偏最小二乘法在不同分组情况下的仿真数据波动情况基本变化不大，在0.1值左右波动，数据振荡较小。仿真结果表明，本文算法在不同分组情况下均能得到相对准确稳定的戴维南等值参数数值，每次迭代所用数据量对算法的稳定性影响较小。

算例3在本算例中设置负荷21为戴维南等值节点，负荷21处的负荷事件视为负荷侧扰动，负荷27处的负荷事件视为系统内部扰动。设置仿真总时长为10 s。负荷事件设置为：0～4 s，负荷21斜坡增长5%，其余负荷保持不变；4～8 s，负荷21斜坡增长20%，同时负荷27斜坡增长80%，其余负荷保持不变；8～10 s，负荷21斜坡增长20%，同时负荷27斜坡增长20%，其余负荷保持不变。图6为该算例仿真时长内的戴维南等值参数仿真结果。

图6 传统偏最小二乘法与复数偏最小二乘法结果对比

由图6可知，0～4 s时，等值系统仅有外部较小扰动时，传统偏最小二乘法得到的等值阻抗值在0.3～0.8之间波动，仿真结果发生一定的波动，而复数域偏最小二乘法的仿真结果比较稳定准确。在4～8 s时，等值系统在等值系统侧发生的扰动比负荷侧明显大时，等值系统内部扰动占主导，传统偏最小二乘法仿真得到的戴维南等值阻抗值在负荷阻抗值上下波动，最大值超2 p.u.，严重偏离正确的戴维南等值阻抗值范围，有明显等值参数漂移现象，传统算法在此情况下失效；而本文算法得到的戴维南等值参数在正常范围内且数值波动较小，能够准确地跟踪戴维南等值阻抗值。在8～10 s内，负荷侧扰动和系统侧扰动大小一样，传统偏最小二乘法计算的等值参数有一定的误差和波动，而本文算法能够正确地跟踪系统的戴维南等值阻抗。

算例4设置负荷27为戴维南等值节点，负荷27处的负荷事件视为负荷侧扰动。设置仿真总时长为30 s。扰动设置为：0～30 s，负荷27斜坡增长30%，其余负荷保持不变；1 s时，母线9处发生三相短路故障，故障电抗设为10Ω；1.1 s时，切除三相短路故障。图7为仿真时间内存在短路故障前后的戴维南等值参数仿真结果。

图7 短路故障前后戴维南等值参数仿真图

由图7可知，1 s之前系统仅发生合适的负荷侧扰动，等值阻抗曲线平稳；1 s时发生三相短路故障，传统偏最小二乘法得到的仿真结果振荡明显，其值远偏离了等值阻抗正常波动范围，而复数域偏最小二乘法的曲线虽然有一定波动，但在切除故障后等值参数很快恢复在正常值内。相比传统方法，本文算法能够更快地跟踪到戴维南等值参数，并且能保持等值参数的正确性和准确性。

4 结 语

本文提出了一种基于复数域偏最小二乘法的戴维南等值参数计算方法，改善了参数漂移问题。相比传统偏最小二乘法，本文算法简化了数学模型，用更少的测量变量得到更为准确的参数辨识结果。在IEEE 39系统下的仿真结果表明了该算法在等值系统多种扰动类型下的准确性和稳定性。