张玲玲 戚有建

著名数学教育家波利亚曾说过：“解题过程就是不断变更题目的过程，我们必须一再变更它的形式，重新叙述它，改变观察问题的角度，使问题呈现出新的面貌，引发我们新的思考、新的联想，直到最后成功地找到一些有用的东西为止．”而变换恰恰就是变更题目的一个重要途径，高中阶段常见的变换有：平移变换、对称变换、旋转变换、伸压变换．通过变换，可以改变问题的呈现形式，凸显问题间的相互联系，揭示问题的内在本质，可以将陌生问题化归为熟悉问题、将复杂问题化归为简单问题．本文结合实例谈谈数学变换在优化解题中的巧妙应用．

一、平移变换

例1（2021年江苏联考题）已知函数y=kx+b与函数y=ex-1-e1-x的图象交于A,B,C，且则实数k=_______．

分析本题是调研考试的最后一道填空题，难度较大．不少同学选择联列方程组处理，但是由于参数较多，计算烦杂，只能放弃．由于平移不改变线段的长度和直线的斜率，此题可以将函数y=ex-1-e1-x的图象向左平移1 个单位长度，得到奇函数y=ex-e-x的图象，从而利用函数的对称性解决问题．

收纳袋

1．平移不改变线段的长度和直线的斜率．

2．函数y=ex-a-ea-x的图象具有对称性，对称中心为(a,0)．

解析通过平移，问题简单化为：

“已知函数y=kx+b′与函数y=e-xe-x的图象交于A′,B′,C′，且，则实数k=_______．”

此时奇函数y=e-xe-x关于坐标原点对称，且是递增函数，由可知直线l′经过坐标原点B′(0,0)．

设A′(x,ex-e-x),x＞0，由得

观察出x=1 满足要求，下面说明唯一性，

令f(x)=e2x+e-2x+x2(x＞0)，则f′(x)=2e2x-2e-2x+2x＞0，所以f(x)在区间(0,+∞)上递增，所以方程①仅有一根x=1，此时可求得

点评：本题的难点和关键是发现函数y=ex-1-e1-x的对称性，通过平移将函数y=ex-1-e1-x转化为奇函数y=ex-e-x；……