张 挺，林震寰，林 通，张 恒

(1.福州大学 土木工程学院，福州 350116; 2.中国电建集团贵阳勘测设计研究院有限公司,贵阳 550081)

输流管道在工程中有着广泛运用，当管道内的流速随时间变化时，将产生脉动流，其中周期性脉动流最为常见。作为一种内激励的形式，会影响输流管道的稳定性，从而引起了很多学者和工程界的关注。

Chen[1]首次将脉动流表达式引入输流管道横向振动运动方程，采用HSU的方法和Bolotin的方法分别研究其作用下的动力不稳定问题，之后Paidoussis等[2-3]对其作了进一步地研究，证明了一定频率和振幅的内流脉动使原来不稳定的输流直管可能变得稳定。Bolotin法常被作为结构物在周期性或瞬态激励下动力不稳定区域的分析方法，例如：王杰方等[4]采用伽辽金变分法和Bolotin法，研究超空泡运动体的动力不稳定区域和影响参数共振曲线的因素；Arani等[5]基于正弦剪切变形梁理论，采用微分求积法结合Bolotin法，研究得到脉动流作用下的双壁纳米碳管动力不稳定区域。随着对输流管道认知和数值方法的不断深入及发展，Gorman等[6]、Azrar等[7]和Seo等[8]分别采用有限差分法、微分求积法、有限元法对内流作用下输流管道参数共振特性及动力不稳定区域作了深入研究。Wang等[9-10]采用弹性伯努利-欧拉梁模型，研究了输流碳纳米管的振动和结构失稳分析。税郎泉等[11]基于经典流固耦合方程，采用二阶Galerkin方法求解，研究了轴向周期外激励对含有脉动流体两端简支输流管道横向振动稳定性的影响。Panda等[12]采用多尺度法研究了在内共振存在情况时两端简支输流管道的主参数共振和组合共振。张计光等[13]同样采用直接多尺度法研究了黏弹性输流管在Winkler地基上的参数共振。以上研究均是针对流速无衰减的周期性脉动流作用下的输流管道横向振动而进行的。

输流管道在工程应用中还可能发生一种极端现象，即当输水过程中由于断电停泵或阀门关闭等原因，将出现水锤现象，管内流体流速受流体黏性和管道摩擦阻力等因素影响，将呈现振荡衰减的特性。对于水锤现象的研究，早期集中于对水锤波的模拟上[14]，随着研究的深入，学者们主要集中在考虑管道轴向振动与流体间的耦合作用(Fluid-Structure Interaction, FSI)及管壁黏滞作用的影响，在水锤激励下对管道轴向振动做了大量研究[15-18]。然而，当输流管道中出现水锤现象时，不仅影响管道轴向振动特性，同时也会对管道的横向振动特性及稳定性产生显著影响。就输流管道横向振动而言，水锤产生的振荡衰减流激励与流速无衰减的脉动流持续周期性激励不同，前者的瞬态激励将导致输流管道的动力不稳定性随着时间的推移而发生变化，到目前为止还未见相关的研究报道。

为了探明该内激励型振荡衰减流对输流管道稳定性的影响，以期在流速无衰减的周期性脉动流对输流管道振动特性影响的研究基础上更进一步，本文引入指数衰减函数模拟水锤发生后管道中的流速变化过程，基于两端支撑的输流管道横向运动微分方程，推导得到动力不稳定区域的表达式，研究在流速振荡衰减型的瞬态激励下，两端支撑输流管道的不稳定区间，并分析相关特征参数对不稳定区域的影响。

1 运动微分方程及离散化

1.1 输流管道横向运动微分方程

如图1所示，水平放置的单跨输流管道，管道长度为L，管道轴线为x轴，管道横向为y轴。忽略重力、轴向拉伸和流体压力的影响，考虑管道黏弹性，其应力-应变关系满足Kelvin-Voiget模型，则两端支撑的输流管道横向运动的微分方程[3]可表述为：

图1 两端支撑输流直管模型

(1)

式中:E*为包含管壁材料Kelvin-Voigt阻尼的弹性模量，Pa·s；I为管道横截面惯性矩，m4；y为管道横向位移，m；E为管道弹性模量，Pa；M和m分别为单位长度管内流体质量和单位长度管道质量，kg；U为流体流速，m/s；c为流体黏性引起的摩擦因数；g为重力加速度，m/s2。

引入无量纲变量：

ξ=x/L，η=y/L，χ=[EI(M+m)]-1/2cL2，

代入式(1)，整理可得两端支撑输流管道无量纲横向运动微分方程：

(2)

根据前期对水锤激励下黏弹性输流管道振动特性的研究成果[18]，本文引入指数衰减项构造随时间变化的无量纲流速表达式，用于模拟管道发生水锤时管内流速振荡衰减特性，即：

u(τ)=u0(ε-μsinωτ)e-bωτ

(3)

式中:u0为管内流体的初始流速，μ为流体流速的幅值，ω为流体流速的波动频率，b为衰减系数，ε为流动系数。

将式(3)代入式(2)，可得：

β1/2u0μωcosωτe-bωτ-β1/2bωu0(ε-

cosωτe-bωτ+β1/2bωu0(ε-μsinωτ)e-bωτ+

(4)

可见，衰减项的引入会使得输流管道的运动微分方程在对空间和时间的微分项系数上增加衰减系数，这势必将对输流管道的动力不稳定区域带来一定影响，从而可进一步分析流速衰减对输流管道不稳定区域的影响。

1.2 Galerkin离散

式(4)中包含了空间四阶偏导和时间二阶偏导项，本文采用二阶Galerkin展开式，将输流管道的横向位移η(ξ,τ)表述为系统的广义坐标与管道振型函数的乘积之和，即：

(5)

式中:qr(τ)是离散系统的广义坐标；φr(ξ)是同时满足位移边界条件和力边界条件的管道无量纲振型函数。

将式(5)代入式(4)中，利用欧拉-伯努利梁的振型正交性，并在区间[0，1]上对ξ积分，可得：

(6)

式中:

M=F+2β1/2u0(ε-μsinωτ)e-bωτB；

K=Λ+[β1/2u0μωcosωτe-bωτ+β1/2bωu0(ε-

e-2bωτ-β1/2u0μωcosωτe-bωτ-β1/2bωu0(ε-

μsinωτ)e-bωτ-γ]C；

针对不同支撑的输流管道模型，其特征方程特征值λr和振型函数φr(r=1,2)有所不同，从而使矩阵F、B、C、D和Λ有所不同。采用Bolotin方法对方程(6)应用Fourier级数展开[3,19-20]，即可得到内激励型振荡衰减流作用下输流管道动力不稳定区域的数学表达式。

2 不稳定区域的确定

2.1 第一动力不稳定区域

对于第一动力不稳定区域，将系统广义坐标q展开成如下形式：

(7)

式中:ak和bk为未知矩阵。

将式(7)代入式(6)，经化简合并同类项后，可得：

(8)

式中:

G1=Θ1ak+Θ2bk；G2=-Θ2ak+Θ1bk；

G3=Θ3ak+Θ4bk；G4=Θ5ak+Θ6bk；

G5=Θ7ak+Θ8bk；G6=Θ9ak+Θ10bk；

G7=κ10Cak；G8=κ10Cbk；

Θ2=-κ1F-κ1κ5B；

Θ3=-κ1κ6B+κ7D-κ7C；

Θ4=-κ9D-κ8C+κ9C；

Θ5=κ1κ6B+κ7D-κ6C；

Θ6=κ9D+κ8C-κ9C；

Θ7=κ9D+κ8C-κ9C；

Θ8=-κ1κ6B+κ7D-κ7C；

Θ9=-κ9D-κ8C+κ9C；

Θ10=κ1κ6B+κ7D-κ7C；

κ5=2εβ1/2u0e-bωτ；κ6=β1/2u0μe-bωτ；

由式(8)可看出第一动力不稳定区域由无数个参数波叠加而成，根据Paidoussis等[3]的研究表明当k=1时，可得到足够精度的结果，因此本文取k=1，并使同类项系数相等，可得关于a1和b1的齐次代数方程组，即

(9)

式中，

(κ3+κ4-κ5+κ7)C

Q12=-κ1F-κ6B-κ9D+(-κ8-κ9)C

Q21=κ1F+κ6B-κ9D+(-κ8+κ9)C

(κ3+κ4-κ5+κ7)C

式(9)周期解存在条件是齐次方程组的行列式等于零，即

|Q|=0

(10)

式(10)可得到振荡衰减流激励下不同支撑条件输流管道的第一动力不稳定区域。

2.2 第二动力不稳定区域

同理，对于第二动力不稳定区域的求解可将系统广义坐标q展开成如下形式：

(11)

将式(11)代入式(6)，经化简合并同类项后，取k=2，可得代数方程组，

(12)

式中：

P11=Λ+κ2D+κ3C+κ4C-κ2C；

P12=-κ9D-κ8C+κ9C；

P13=2κ7B+κ7D-κ7C；

P21=-2κ9D-2κ8C+κ2C；

P23=-κ5B；

P31=κ6D-κ6C；

P32=κ5B+κ10Ca；

同样，

|P|=0

(13)

时式(12)存在周期解。

由式(13)可得出振荡衰减流激励下不同支撑条件输流管道的第二动力不稳定区域。

3 不稳定区域验证

前述引入与时间和脉动周期有关的指数函数来描述振荡衰减流，推导得到了输流管道在振荡衰减流激励下的动力不稳定区域表达式，若不考虑流速衰减，即流动系数ε=1和衰减系数b=0时，则方程退化为流速无衰减脉动流激励下动力不稳定区域方程。由于目前输流直管在振荡衰减流作用下的不稳定区域研究未查阅到相关文献成果，本节针对两种不同支撑条件的输流管道模型，选取两个经典案例即Chen[1]和Paidoussis[3]所做研究进行对比，用于验证本文所提出的模型。

3.1 两端固支管道

对于两端固支管道，其振型函数为：

φr=chλrξ-cosλrξ-

(14)

计算得到在ω/ω0-μ平面内，两端固支输流管道在不同初始流速u0与不同黏滞阻尼系数χ条件下第一动力不稳定区域，如图2所示(实线为χ=0，虚线为χ=0.2，点划线为χ=0.5)。可见本文计算结果与Paidoussis等用脉动流作为激励条件得到的计算结果(实心点)吻合良好。从图中可以看出，随着初始流速u0的增加，第一动力不稳定区域向下移动，且不稳定区域显著增大；同时，随着黏滞阻尼系数χ的增加，不稳定区域起点向右偏移，且初始流速越小，χ对不稳定区域的影响越大，不稳定区域缩小地更快。

图2 两端固支输流管道第一动力不稳定区域随平均流速u0和黏滞阻尼χ变化

3.2 两端简支管道

对于两端简支管道，其振型函数为：

φr=sinλrξ

(15)

式中:r=1,2，两端简支梁特征方程的特征值λ1=π，λ2=2π。本算例中各参数取值分别为：α=0，γ=10，β1/2=0.2，u0=6，χ=0，即表示在重力作用下，不考虑内部管壁材料阻尼作用，忽略流体黏性引起摩擦的相对粗管。

计算得到在ω/ω0-μ平面内，两端简支输流管道第一和第二动力不稳定区域，如图3所示。可见本文计算结果比Chen的结果(点划线)不稳定区域开口大，而与Paidoussis等[3]得到的计算结果(虚线)吻合良好。其原因是Chen[1]在推导输流管道运动微分方程时未考虑纵向加速度项和管道横向运动的影响，这充分表明了水流与管道的纵向加速度和管道的横向运动对动力不稳定区域的影响是不可忽略的。

图3 两端简支输流管道参数不稳定区域

4 振荡衰减流对不稳定区域的影响

当输流管道中发生水锤现象，其流速会出现双向衰减流的现象，这种现象反映在本文提出的衰减流表达形式上，与特征参数脉动幅值μ、衰减系数b、流速系数ε和时间τ有关，本节以两端简支的输流管道模型为例，分析输流管道在振荡衰减流激励下动力不稳定区域在空间和时间上的变化特性。为分析方便，其它系统参数分别取α=0，γ=0，β1/2=0.8，表示忽略重力影响下不考虑内部管壁材料阻尼作用的相对细管。

4.1 振荡衰减流特性

本文所引入振荡衰减流的流速表达式，在衰减系数b、脉动幅值μ和流速系数ε的取值不同时，其流速的衰减形式有所不同。在给定脉动频率ω(ω/ω0=1.57)和初始流速u0(u0=0.65)的条件下，可得到管道内流体在不同衰减系数b、脉动幅值μ和流速系数ε的流速时程，如图4(a)～(c)所示。从图中可以看出随着衰减系数b的增加，管内流速衰减至零的速率增加，管内流体恢复至静止状态用时缩短(图4(a))；随着脉动幅值μ的增加，其流速波峰波谷值随之增加(图4(b))；同时，流速系数ε=1.0时，管道内的流速虽然有衰减特性，但并未表现出双向流的特性，仍处于周期性脉动流范畴，只有当脉动幅值ε<1.0后，管道内的流速逐渐呈现出双向流的特性(图4(c))。为了进一步验证所提出的流速表达式能较好地反映水锤激励下，输流管道内水流速度呈现出的衰减双向流特性，应用文献[18]所提出的黏弹性输流管道模型计算得到本文系统参数条件下输流管道内的流速时程(ε=0.1，μ=1.1，b=0.02)，绘于图4(d)中，可见本文所提出的流速表达式与水锤发生后输流管道内的流速时程吻合良好。

(a)μ=1.1，ε=0.1

4.2 衰减系数b对不稳定区域的影响

为了进一步分析管内流速衰减系数b对输流直管的不稳定区域的影响，当时间τ=0.01时，计算得到两组初始流速u0在ω/ω0-μ平面内，两端简支输流直管第一和第二动力不稳定区域，如图5所示。从图中可看出，随着脉动幅值μ的增加，不稳定区域范围增大，管道不稳定性增强；同时，随着衰减系数b增加，第一动力和第二动力不稳定区域起点会向下偏移，对比图5(a)和(b)可见，初始流速u0越大，随着衰减系数b的增加，第一动力不稳定区域起点向下偏移越明显，且不稳定区域越大。以μ=1.1为例，在初始流速u0=0.65时，当流速不衰减(b=0)情况下，第一动力不稳定区域在1.74～2.23之间，当流速衰减系数b=0.04时，第一动力不稳定区域缩减至1.70～2.15之间，变化并不明显；而在初始流速u0=1.30时，当流速不衰减(b=0)情况下，第一动力不稳定区域在1.51～2.52之间，当流速衰减系数b增加至0.04时，第一动力不稳定区域缩减至1.26～2.24之间。可见，初始流速对动力不稳定区域的影响比衰减系数对动力不稳定区域的影响更加显著。

(a)u0=0.65

4.3 时间τ对不稳定区域的影响

在输流管道发生水锤时，流速是不断衰减的，当时间到达一定时刻，管内流体将停止流动，因此，输流管道的不稳定区域也将随着时间的推移而发生变化。为了分析特征参数时间τ对管道不稳定区域的影响，图6给出了脉动幅值μ=1.1时，在两组不同初始流速条件下，不同衰减系数在ω/ω0-τ平面的动力不稳定区域。可见，随着时间τ的推移，不稳定区域逐渐闭合，且随着衰减系数b的增加，其不稳定区域的闭合时间逐渐缩短，这表明随着衰减系数b的增加，流速衰减越快，不稳定区间闭合越快，当管道内流速衰减至0时，水锤过程结束，流体静止，此时管道不稳定区域消失。对比图6(a)和(b)可得，随着初始流速u0的增加，其不稳定区域闭合时间会推迟；从图中同样可看出，随着初始流速u0的增加，不稳定区域增大。

(a)u0=0.65

5 结 论

本文引入指数衰减函数模拟水锤发生后管道中流体速度呈现的振荡衰减特性，基于两端支撑的输流管道横向运动微分方程，推导得到内激励型振荡衰减流作用下动力不稳定区域的表达式。在流速无衰减的脉动流激励条件下，模拟得到的两种不同支撑输流管道不稳定区域与前人数值结果吻合良好；为了进一步验证，将本文所提出的流速表达式结果与黏弹性输流管道模型计算得到的流速时程进行对比，结果表明，公式(3)能较好地反映水锤激励下输流管道内水流速度呈现出的振荡衰减特性。在此基础上，分析了不同流速特征参数，如脉动幅值μ、衰减系数b和初始流速u0，对两端简支输流管道模型的动力不稳定区域的影响。结果表明，随着脉动幅值μ的增加，不稳定区域范围扩大，随着衰减系数b增加，不稳定区域起点向下偏移；随着时间τ的推移，不稳定区域逐渐闭合，且随着衰减系数b的增加，其不稳定区域的闭合时间逐渐缩短；初始流速对动力不稳定区域的影响比衰减系数对动力不稳定区域的影响更加显著。由于输流直管在内激励型振荡衰减流的作用下，其动力不稳定性随时间的推移而改变，因此研究其横向振动响应将是下一步的重点。