张培培，杨自栋，赵相君

基于滑膜控制的半挂汽车自动倒车路径跟踪*

张培培，杨自栋，赵相君

（浙江农林大学工程学院，浙江 杭州 311300）

文章针对半挂汽车倒车时的跟踪控制问题进行了研究，建立了该系统在卡迪尔坐标系下的车辆非线性运动模型。为了简化求解过程，通过准确线性变换方法对建立的系统进行了线性化，设计了滑膜变结构控制器，基于Ackermann公式进行极点配置选取控制参数，最后对直线倒车路线的跟踪控制进行了仿真分析。仿真结构表明：设计的反馈控制器能改善半挂汽车对行驶路径的跟踪能力，使偏离的挂车快速返回到期望的稳态轨迹上。

半挂汽车；滑膜变结构控制；倒车；模型跟踪

前言

半挂汽车具有运输效能高、成本低等优点，在地质勘探、农耕、运输等领域得到了广泛应用，众多高校和科研机构对半挂汽车进行了广泛研究[1-6]。

随着控制技术的发展，国内外众多学者对自动驾驶车辆系统进行了运动学和动力学建模并提出了相应的控制策略[7-12]。现有的智能车辆自动驾驶控制系统由纵向运动控制和横向运动控制共同组成，纵向运动主要控制对象是传动、驱动和制动系统，横向运动主要控制对象是转向系统，应用较多地有PID控制、模糊控制、滑膜控制、模型预测控制、非线性模型预测控制等。

半挂汽车是存在一定运动约束的一类欠驱动系统[13]，既独立控制输入少于自由度的系统，具有非线性，且向后倒车时是非完整约束的不稳定系统。因此本文对半挂汽车进行自动驾驶的倒车路径跟踪控制进行研究。针对半挂汽车在系统运动轨迹假设的基础上建立运动学模型。为简化稳定跟踪控制器的验算和求解，应用准确线性化方法对建立的模型线性化，最后采用滑模变结构算法来实现半挂汽车系统的倒车跟踪控制，使其很快倒入指定路线，并通过仿真手段分析和验证了控制算法的有效性和实时性。

1 倒车运动学模型建立

为简化研究问题，做如下假设：车辆只作平行于地面的平面运动；车辆倒车时速度较低，车轮没有侧滑；牵引车和挂车铰接点在牵引车的后轴中心。半挂汽车简化为如图1所示的三轮车模型，即：半挂汽车倒车跟踪运动模型，为卡迪尔坐标系，图中各参数含义如表1所示：

表1 系统参数

根据图1模型建立半挂汽车的卡迪尔坐标下运动学微分方程[5]：

考虑整个系统是倒车运动，因此系统的状态量设为（2，2，，），控制量选取为前轮转角。

进一步简化模型，以P点横坐标2为新的时间量标，新量标2与时间之间的关系可表达为：

式中，1为拖拉机后轴中心速度。

式（1）可以改写为：

半挂汽车是一个欠驱动非线性系统，为这个系统设计一个稳定跟踪控制器最简单的方法就是将其线性化，引入新的状态变量=（123）和新的系统输入，通过坐标变换，将该系统的非线性模型进行线性化[14]。

则半挂汽车的线性化状态方程如下：

因此可以为该线性系统设计一个负反馈线性控制器：

根据式（7），求出前轮转角：

式（9）、（10）表明，设计合理的负反馈控制器会使系统快速稳定，当2增大时，2→0，→0，→0，即车辆直线运动时会追踪轴。式（11）表明，非线性系统的输入由2，，决定。

2 基于滑模变结构控制算法设计

前面将非线性半挂汽车模型进行了准确的线性化为反馈线性控制提供了基础。本文采用滑模变结构算法来实现对该系统的跟踪控制[15]。

2.1 滑模面的参数设计

设有线性系统：

式中，x为状态向量，x= x+1，=1，……，-1；A和B为系数矩阵；为输出矩阵控制函数。

滑模面设计为：

式中，C为切换函数矩阵，C=[12Kc]，为状态变量的维数，根据本文建立的半挂汽车模型是一个三阶系统，即=3。

2.2 基于指数趋近律和准滑动模态的滑模控制器设计

滑模控制包含趋近运动和滑模运动两个过程。为了保证快速趋近同时削弱抖振，本文采用指数趋近律的方法和准滑动模态控制。

指数趋近律：

式中，为等速趋近速率，＞0，为指数趋近项系数，＞0，和决定了趋近切换面时的速度。

式中，是很小的正常数。

根据Lyapunov稳定性理论，系统是稳定的，结合公式（12）~（15）得到系统的变结构滑模控制律：

合理地选择切换函数矩阵C可以保证滑模变结构控制系统具有良好的动态特性，C的选取方法主要有极点配置法、二次型最优等，Ackermann公式可以简单有效地进行极点配置[16]，故本文基于Ackermann公式进行极点配置选取C。该系统模型是一个闭环三阶系统，具有3个都位于左半开复平面的极点，其中2个共轭主导极点λ1、λ2由系统的参数决定，为使第3个实数极点λ3对系统的影响小，应使其远离两个主极点。

参考文献[17]，确定系统的固有频率和阻尼为ω=2.26Hz，=0.70，则主导极点：

第3个极点λ3远离2个主导极点，取λ3=-10。

根据Ackermann公式：

式中，（）=（-Iλ1）（-Iλ2）（-Iλ3）。

根据式（19）可以求出1=40.3，2=32.0，3=12.8，取=0.5，=3，=0.01，则系统的滑模控制律为：

3 路径跟踪仿真实验分析

根据上述滑模变结构控制器的设计，搭建半挂汽车自动倒车仿真模块且在Matlab/Simulink 环境下进行系统直线倒车运动仿真验证，假设倒车时运动速度稳定在1m/s，其模型参数如下：1=2，2=2.8。设置初始时刻为0=0，末端时刻1=30s，求解算法采用龙格-库塔数值解法，设定模型仿真步长为0.01 s。

初始条件如下：2=0.5，=0，=/6，仿真实验结果如图2所示。

从图2中看出，线性化系统的状态变量经过较短时间收敛到0，前轮转角快速收敛到0°，点的坐标2=1、农具与拖拉机中心线的夹角和农具中心线与Y轴夹角都会快速收敛到0，因此设计的控制器可对直线轨迹进行跟踪。

4 结束语

（1）应用非线性相关理论对欠驱动半挂汽车系统动态规律进行了分析，以此建立了该系统倒车时直线行驶运动轨迹跟踪模型，已达到简化运动的目的，应用准确线性化方法对建立的系统模型线性化。

（2）采用滑模变结构算法设计了半挂汽车系统的倒车路线跟踪控制算法。利用Matlab/Simulink对系统仿真实验验证了控制算法具有良好的道路跟踪精度和动态性。

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Backward Path Tracking Control for Tractor-Trailer SystemBased on Sliding Model Control*

Zhang Peipei, Yang Zidong, Zhao Xiangjun

( School of Engineering, Zhejiang Agriculture and Forestry University, Zhejiang Hangzhou 311300 )

This paper presents a backward path tracking control of a tractor-trailer system in the presence of model uncertainties. The position of the trailer is controlled by steering the tractor. Since tractor-trailer system has a nonlinear multi-input and multi-output model with strong couplings, accurate linearization algorithm is employed to overcome unknown nonlinearities and uncertain parameters. The kinematic model of a tractor-trailer system is developed. Sliding mode variable structure control is employed for the linearized tractor-trailer system. To determine the poles to obtain the transition performances preserving the system stability, Ackerman’s formula is used to improve traditional pole placement algorithm and further design the control law. Then the path tracking algorithm controls the system to follow a straight path in real time. Finally, simulation results suggest that the simulated tractor-trailer system’s tracking path is smooth and almost identical to the reference path.

Tractor-trailer system; Sliding model variable structure control; Straight backward driving; Path tracking

10.16638/j.cnki.1671-7988.2021.02.011

U461.1

A

1671-7988(2021)02-31-04

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张培培，长安大学博士研究生，讲师，就职于浙江农林大学工程学院，研究方向为车辆系统动力学。

浙江省公益技术研究项目（2017C32070）。