钱建兵

笔者听了特级教师许卫兵的“用字母表示数”一课后，受益匪浅。为什么要由具体的数走向概括的字母表示？大家进行不断探索的动机是什么？笔者认为，一个重要的原因就是人类与生俱来的求简思维。也正是如此，教学中，许老师充分利用了这一点，激发学生不断求简的欲望，思维从具体向抽象跨越。从开始的字母表示概括的数，到着力体现数量关系，到最后的简写规则的学习以及用字母表示公式，一脉相承，体现了整体建构的教学魅力。

【片段一】聚焦概括，思维由具体走向抽象

教师用小棒在黑板上摆三角形，边摆边让学生观察三角形的个数和小棒的根数，摆好4个三角形后——

師：摆不完，怎么办？

生：用省略号。

师：一个省略号就把所有没摆出来的情况都包括进去了。

教师出示：摆（   ）个三角形用（   ）根小棒。

展示1：摆（1）个三角形用（3）根小棒。

摆（5）个三角形用（15）根小棒。

师：同意吗？评价一下他们的水平。

生：我同意他们的填法，数字大了，水平高了。

师：哦，你的想法是，谁写的数字大，谁的水平就高。

展示2：摆（n）个三角形用（n×3）根小棒。

师：这个同学用了英文字母n，请说一说你这个n想表示谁？

生（上台指着1、2、3、4……）：n表示这里所有的数。

师：你的意思是说，写这么多数，还要加省略号才能把它们写全，太麻烦了，我直接写个n不就好了吗？

生：是的。

师：同学们，这种想法有没有道理啊？

生：有。

师：那你们想想看，他后面写的是什么？

生：n×3。

师：n×3啥意思？有人看懂了吗？

生：因为1个三角形要用3根小棒来摆，所以n个三角形就要用n×3根小棒来摆。

师：你是这么想的吗？

生：是的。

师：请问怎么知道是乘3的？刚才咱们碰到乘3了吗？

生：碰到了。

师：哪里用上了？比如6是怎么来的？

生：2×3。

师：请问，n×3代表哪些数呢？

生：3、6、9、12……

师：俗话说，千金难买回头看。我们回过头来看看，一开始解决这个问题的时候，大家脑子里总是先想到什么呢？

师：跟一个个具体情况相比，这个同学的写法最大的不同是什么？

生：这个n和n×3把所有的情况都包括进来了。

师：一网打尽了是吧。

……

【赏析】字母表示数是系统学习抽象形式的代数的开端。在此之前，学生习惯于具体的数、具体的运算，虽然代数思维也有一些初步的萌芽，但具体算术思维根深蒂固。教学中，许老师能充分抓住学生这一思维特点，或者说思维习惯、思维水平，让学生在具体的表达中实现思维向抽象跃升。当学生意识到再多的具体数字也没有必要全部写下来，用字母表示数就呼之欲出。没有反思，就没有思维的提升。当学生用字母表示了数之后，许老师通过引导学生对比，让学生充分体会字母表示数的价值与背后蕴藏着的数量关系。这个反思包括两个方面：不仅仅停留在由具体走向概括的单向的比较上，而是让学生的思维行走于具体与概括之间的双向通道上，由“一个个具体的数，最终一个字母、一个字母式就一网打尽”到“由这个字母、这个字母式还可以代表谁”。学生的思维在具体与抽象之间自由切换，并充分地体验着、感悟着。学生的思维只有在两者之间自由行走，才能得到充分发展，否则还是无法抹去教师牵引的痕迹，也无法见证学生思维的发展。

【片段二】着力关系，思维由表象走向深入

教师拿出一瓶饮料问：这瓶饮料有300毫升，如果我们喝掉一部分，就会剩下一部分。我们什么时候遇到过这样的问题呢？

板书：300毫升饮料，喝掉（     ）毫升，还剩（    ）毫升。

咱们一年级就学啦，比如，我有5个饼，吃掉2个饼，还剩——

（教师拧开瓶盖，请一个学生上台喝了一口）

师：好喝吗？

生：好喝。

师：哈哈，那可不能白喝，请问：你喝掉（    ）毫升，还剩（   ）毫升。

生：我用x表示，我喝掉x毫升，因为我们没有测量到底喝了多少。

师：剩下的谁来填？

生：喝掉x毫升，还剩x毫升。

生：应该是其他的一个字母，用y表示。

生：我认为应该是300-x。

师：哪个答案更好？

生：300-x。

师：为什么？我觉得y也蛮好的。

生：因为y没能表示它们之间的关系。

师：是的，同学们。数学很奇妙——

生：关系最重要。

【赏析】在回顾、反思中品味具体与抽象的过程时，许老师迅速将学生的思维聚焦于字母式背后的数量关系。无论是一个个具体的算式，或是概括的字母式，只要引导学生进行比较，就不难发现变化中不变的数量关系。可以说，许老师的教学触及教学难点，时机掌握得恰如其分。“数学很奇妙，关系最重要。”正如许老师所预设的那样，学生很自然地将思维聚焦于数量关系，这也是学生初次发现字母式背后的数量关系。用其他字母表示三角形的个数，那么怎么表示小棒的根数？在对比中，学生又一次发现，在表达时要将关系说清楚，数量关系再一次被推到前台。

许老师创设教学情境——300毫升的饮料，当一个学生喝掉一口后，用字母表示喝掉的饮料与剩下的饮料时，有的学生用“喝掉x毫升，还剩x毫升”表示，有的学生用其他字母表示，还有的学生用“300-x”表示……在学生的争辩中，数量关系再一次被推上前台。因此也有了学生再一次的深刻感悟：数学很奇妙，关系最重要。在此过程中，学生由追求结果走向追求过程，逐步由算术思维走向代数思维。

【片段三】着眼整体，思维贯穿知识结构

师：在以前的数学学习中，咱们有没有碰到过用字母表示数的情况呢？

生：我们学过加法交换律，a+b=b+a。

生：还有加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，都可以用字母表示。

（教师出示字母表示的运算定律）

生：计算长方形周长和面积的时候，也用过。

（教师出示：长方形、正方形面积的文字公式和字母公式，由文字公式变成字母公式就变简单了）

师：用今天所学的方法，我们还可以把这几个字母公式写得再简单一点：S=ab，S=a2。如果不这么写行不行？

师：既然面积公式可以这样写，你们就想到了什么？

……

【赏析】无论是引导学生的思维由具体走向抽象，还是聚焦关系用字母式表示数，或是字母简写规则的学习，许老师都是将其置于“人类思维总是求简”这种思维方式之中的，数学学习顺应了“把复杂的问题变得简单，把简单的问题变得更简单”的需求，数学能将这一需求、这一理想变成现实，并趋于完美，因而学习变得如此自然。这也体现了教者整体构建的数学教学思想。

当教学的立意达到更高层次时，学生就有了领略更高远风景的视角，一种内在的学习力自然得到激活与唤醒。把简单的事做得更简单，寻求更简单的表达，成为学生内在的需求，成为有意义的事情。用字母表示公式这些知识也能很自然地融入学生的知识结构中。

总之，这节课的教学因求简的思维而生，也因求简的思维成为整体，在整体构建中实现思维的跨越。在反思中对具体与概括进行比较，在反思中不断体会概括中关系的重要性，体会字母表示数的价值，在此过程中也形成了凸显整体性的板书设计，脉络清晰，一目了然，整体感强，彰显了结构化教学的魅力。

（作者单位：江苏省南通市通州区西亭小学）