张更，李军，2，柳贡慧，3，杨宏伟，王江帅，安锦涛

（1.中国石油大学（北京）石油工程学院，北京 102249；2.中国石油大学（北京）克拉玛依校区，新疆 克拉玛依 834000；3.北京工业大学，北京 100124）

0 引言

随着全球的油气勘探开发逐渐向深水、深层转移，建井深度逐步加大，随之而来的是，井下情况更加复杂，这给井筒温度剖面的计算提出了巨大挑战。井筒温度变化对井下压力控制、钻井液性能、井壁稳定、井下工具等具有非常显著的影响，井筒温度剖面的计算对安全高效的钻进具有十分重要的意义[1-6]。目前计算井筒温度的模型主要分为解析模型和数值模型。Holmes等[7]最早对井筒温度解析模型进行了研究，后来的研究[8-11]多依据他们建立的经典模型，利用解析方法研究在循环钻进、固井、油气生产等过程中的传热行为。然而，这些解析模型多为稳态模型，不能用于计算复杂系统的传热过程，特别是深水和深层钻井。Raymond等[12-13]进行了开创性的研究，建立了传热数值模型并计算了对流换热系数。之后的一些井筒温度数值模型都以他们的研究为基础，只是考虑了深水、停止循环、漏失、气侵等不同工况环境。井筒温度受多种因素的影响，现有研究主要集中在钻井液物性参数、循环时间、钻井液排量等主观因素的影响，对钻井液流动阻力与钻柱旋转等客观因素影响的研究还不够深入。现有模型没有同时考虑这2个客观因素的影响，导致井底温度计算值偏低，与井底实际温度偏差较大。所以，建立考虑钻井液流动阻力与钻柱旋转的井筒瞬态传热新模型，对比分析流动阻力产生的摩擦热能与钻柱旋转产生的旋转动能，对研究井筒温度的影响非常有必要。

1 井筒瞬态传热模型

1.1 物理模型

在钻井过程中，钻井液以温度Tin进入钻柱内，沿着钻柱向下流动，后通过钻头喷嘴进入环空。进入环空后，钻井液被底部地层加热，在上返过程中加热上部地层，最后钻井液以温度To从环空井口返出。

在整个过程中，钻柱内钻井液、钻柱壁、环空内钻井液、井壁（套管或裸眼地层）、地层等控制单元之间，通过热传导或热对流产生能量的传递和交换，井筒流动及传热物理模型见图1。在建立考虑流动阻力和钻柱旋转的井筒瞬态传热新模型时，为了合理简化计算，依据传热特性与流动规律，提出以下假设：1）钻井液在井筒中的流动为一维单相流动，不考虑其内部物理参数（密度、压力、速度等）的径向变化；2）钻柱壁、套管、水泥环、地层岩石的热物性参数（导热系数、密度、比热容等）保持不变；3）不考虑钻井液通过钻头水眼产生的温度变化。

图1 井筒流动及传热物理模型

1.2 数学模型

钻井液在循环过程中，井筒-地层传热系统可以视为具有一定边界条件的热交换器。依据热力学第一定律，分别对划分的5个区域建立控制微分方程。

1.2.1 钻柱内钻井液

钻井液在钻柱内向下流动过程中，钻柱内钻井液控制单元的能量变化由流动阻力产生的摩擦热能、钻柱旋转产生的旋转动能、轴向上的净热量、径向上与钻柱内壁的对流换热量组成。

式中：Qfe为单位长度的摩擦热能，W/m；Qre为单位长度的旋转动能，W/m；ρm为钻井液密度，kg/m3；q 为排量，m3/s；Cm为钻井液比热容，J/（kg·℃）；Tp为钻柱内钻井液温度，℃；z为轴向位移，m；rpi为钻柱内半径，m；hpi为钻柱内壁对流换热系数，W/（m2·℃）；Tw为钻柱壁温度，℃；t为时间，s。

1.2.2 钻柱壁

钻柱壁连接钻柱内与环空内的钻井液控制单元，钻柱壁控制单元的能量变化由钻柱壁轴向上的导热量、钻柱内壁与钻柱内钻井液的对流换热量、钻柱外壁与环空内钻井液的对流换热量组成。

式中：kw为钻柱壁导热系数，W/（m·℃）；rpo为钻柱外半径，m；hpo为钻柱外壁对流换热系数，W/（m2·℃）；Ta为环空钻井液温度，℃；ρw为钻柱壁密度，kg/m3；Cw为钻柱壁比热容，J/（kg·℃）。

1.2.3 环空内钻井液

钻井液在环空内向上流动过程中，环空内钻井液控制单元的能量变化由流动阻力产生的摩擦热能、钻柱旋转产生的旋转动能、轴向上的净热量、径向上与钻柱外壁和井壁的对流换热量组成。

式中：rci为套管内半径，m；hci为井壁对流换热系数，W/（m2·℃）；Tc为套管温度，℃。

1.2.4 井壁

在实钻过程中，井壁可分为上段套管井壁和下段裸眼井壁。井壁控制单元的能量变化由轴向上的导热量、井壁与环空内钻井液的对流换热量、径向上与地层或水泥环的导热量组成。

式中：kc为套管导热系数，W/（m·℃）；rco为套管外半径，m；kf为地层导热系数，W/（m·℃）；Tf为地层温度，℃；ρc为套管密度，kg/m3；Cc为套管比热容，J/（kg·℃）。

1.2.5 近井壁区域

近井壁区域主要由水泥环、套管、地层组成，其能量变化主要考虑轴向和径向上的导热量。

式中：T为介质的温度，℃；r为径向节点距离中心轴的距离，m；ρ为介质的密度，kg/m3；C 为介质的比热容，J/（kg·℃）；k为介质的导热系数，W/（m·℃）；下标 j代表径向节点序号，径向上共划分13个节点。

根据Holmes的观点，地层对井筒温度的影响半径为3 m左右。由此，在划分径向网格时，设定5≤j≤13。其中，5≤j≤7为套管和水泥环的组合体，7＜j≤13为地层。

对流换热系数h的计算公式为

式中：km为钻井液导热系数，W/（m·℃）；d 为水力当量直径，m；Re为雷诺数；Pr为普朗特数。

流动阻力产生的摩擦热能与钻柱旋转产生的旋转动能的计算公式为

式中：pf为钻井液的流动阻力，Pa；f为摩擦因数，与管壁粗糙度、雷诺数、流性指数有关；vm为钻井液流速，m/s；Ek为旋转动能，J；Δt为时间步长，s；Δz为轴向位移步长，m；I为钻柱的转动惯量，kg·m2；ω 为钻柱转速，r/min；mp为钻柱质量，kg。

1.3 模型初始及边界条件

1.3.1 初始条件

1）整个系统初始时刻的温度为地层温度。

式中：Ti（z，0）为初始时刻i区域在轴向位移z处的温度，℃；Ts为地表温度，℃；G 为地温梯度，℃/m；下标i代表划分的5个区域。

2）钻柱井口温度 Tp（0，t）为注入温度Tin。

1.3.2 边界条件

1）在井底时，钻柱内钻井液、钻柱壁、环空内钻井液的温度相等。

式中：L为井底深度，m。

2）地表边界为绝热边界；离井筒以外一定距离的地层不受干扰，为原始地温；在井壁处，传入环空的热量与流出地层的热量相等。

2 模型求解与对比

为了节省计算时间，在径向上采用结构化非均分网格对系统进行离散。为了提高计算的稳定性，采用有限差分法的全隐式格式对控制微分方程进行离散。空间上，依据从左到右、从上到下的顺序；时间上，依据从小到大的顺序，依次进行离散，构成线性方程组[14-17]。方程组利用高斯-赛尔德迭代法进行求解。

各控制单元的微分方程离散后，都可以写成如下形式：

式中：αij，βij，γij，δij，ξij分别为常系数项；Cij为方程常数项；T的上标代表时刻，下标代表节点位置。

各节点的离散方程组成的线性方程组可以由矩阵表示：

式中：A 为系数矩阵；Tn，Tn+1为所有 n，n+1时刻节点温度组成的向量。

利用文献[18]中的数据（见表1），将本文模型的计算值分别与 Yang[18]数值模型和 Al-Saedi[19]解析模型的计算值进行对比，结果如图2所示。

表1 模拟井基本参数

图2 模型对比示意

从图2可以看出，本文模型的计算值分别比Yang数值模型与Al-Saedi解析模型的计算值高出约5℃和3℃，更接近井底实际温度。这主要是由于Yang数值模型没有考虑钻柱旋转产生的旋转动能、Al-Saedi解析模型没有考虑钻井液流动阻力产生的摩擦热能的影响导致的。

3 实例分析

某井为一口直井，三开钻头直径215.9 mm，井深4 600 m，钻柱转速120 r/min，钻柱井口注入温度25℃，地表温度16℃，地温梯度0.023℃/m。钻井液的流变参数、井身结构及钻具组合参数、各介质的热物性参数如表2—4所示。

表2 钻井液流变参数

表3 井身结构及钻具组合参数

表4 各介质热物性参数

3.1 流动阻力与钻柱旋转对环空温度的影响

为了分析流动阻力与钻柱旋转对井筒温度分布的影响，分别计算了考虑流动阻力或钻柱旋转时，循环8 h后的井筒环空温度剖面（见图3）。

图3 不同热源情况下的环空温度剖面

从图3可以看出，随着井深的增加，环空温度呈现先增加后降低的趋势。这是由于，底部地层的热量不断被钻井液带出加热上部地层，随着考虑的热源情况增多，环空温度也不断地增加。其中，考虑钻柱旋转的环空温度比考虑流动阻力时要大。

随着井深的增加，不同热源情况下的环空温度差（与不考虑流动阻力与钻柱旋转的环空温度相比）越来越大，特别是井深超过3 000 m后，环空温度差增加的幅度急剧增大（见图4）。这主要是因为该井套管下深为3 000 m，套管的导热系数比地层的导热系数要大得多，导致钻井液在上返过程中与周围地层进行大量的热交换，井筒内的温度快速下降，致使上部井段温度差异不大。考虑钻柱旋转时，在4 000 m以下环空温度差增加的幅度较小，这是由于4 000 m以下为钻铤段，钻铤的内径比钻杆小，转动惯量比钻杆低，导致旋转动能降低，环空温度差增加的幅度变小。

图4 环空温度差随井深的变化

3.2 流动阻力与钻柱旋转对井底、井口温度的影响

通过研究流动阻力或钻柱旋转对井底温度的影响，发现随着循环时间的增加，井底热量不断被钻井液循环带出，井底温度逐渐降低（见图5）。考虑流动阻力或钻柱旋转的井底温度，始终比不考虑流动阻力与钻柱旋转的井底温度要高。考虑流动阻力的井底温度差约为3℃，考虑钻柱旋转的井底温度差约为6℃，同时考虑流动阻力与钻柱旋转的井底温度差约为10℃。这说明钻柱旋转对井底温度的影响比流动阻力要大。

图5 井底温度随循环时间的变化

图6为不同热源情况下井口温度随循环时间变化的关系曲线。从图6可以看出，随着循环时间的增加，井口温度不断增加。考虑流动阻力时，井口温度能达到29.5℃左右；考虑钻柱旋转时，井口温度可达30.0℃左右；同时考虑流动阻力与钻柱旋转，井口温度增加2℃左右。这说明钻柱旋转对井口温度的影响比流动阻力要大。

图6 井口温度随循环时间的变化

3.3 钻柱转速与钻井液排量对环空温度的影响

随着钻柱转速的增加，钻柱的转动惯量逐渐增加，继而产生的旋转动能不断增大，导致环空温度增加（见图 7）。

图7 不同转速的环空温度剖面

钻井液排量同时影响钻井液流动阻力及对流换热系数。排量较小时，主要影响对流换热系数，随着排量的增加，对流换热加快，下部地层温度降低，上部地层温度上升；排量较大时，主要影响钻井液流动阻力，随着排量的增加，流动阻力产生的摩擦热能增加，环空温度增大。如图8所示，随着排量的增加，环空温度不断增加，且增加的幅度不断增大。

图8 不同排量的环空温度剖面

4 结论

1）相比不考虑流动阻力与钻柱旋转的影响，钻井液流动阻力和钻柱旋转对井筒温度剖面的影响较大，且随着井深增加，这种影响逐渐加剧，特别是在裸眼段。

2）相比流动阻力，钻柱旋转对井口温度和井底温度的影响更为明显。但是，流动阻力与钻柱旋转对上部井段温度的影响幅度并不大。

3）随着钻柱转速的增加，钻柱旋转产生的旋转动能增大，环空温度不断增加；随着钻井液排量的增加，流动阻力产生的摩擦热能增加，环空温度逐渐增加，且增加的幅度逐渐增大。