◇ 山东 韩建坤

“东升西落照苍穹,影短影长角不同．昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣．”数学与诗歌本不是一家,数学是抽象思维活动,诗词是阐述心灵的文学艺术,但有些诗与数学“联姻”,把数学嵌入诗中,装点了诗词的国度,让诗词多了一种气质和风情,而周期函数就是具有这种“气质风韵”的一类函数．

1 求函数的周期

例1若对任意x∈R,f(x)满足f(x＋2019)＝－f(x＋2020),则函数f(x)的周期为_______．

解析

由f(x＋2019)＝－f(x＋2020),得f(x＋2019)＝－f(x＋2019＋1),令x＋2019＝t,即f(t＋1)＝－f(t),所以f(t＋2)＝f(t),函数f(x)的周期为2．

点评

求解函数的周期问题,要紧扣函数周期的定义,牢记函数周期的常用结论,熟练掌握函数的对称性与周期性的关系．

变式已知f(x)是定义在R上的函数,且满足,则函数f(x)的周期为________．

2 周期函数的判定

例2设函数y＝f(x),x∈R．若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称,求证：函数y＝f(x)为周期函数．

解析

由图象关于x＝a对称得f(2a－x)＝f(x),即f(2a＋x)＝f(－x)．

因为f(x)为偶函数,所以f(－x)＝f(x),从而f(2a＋x)＝f(x),所以f(x)是以2a为周期的函数．

点评

应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化．

变式设函数y＝f(x),x∈R．若函数y＝f(x)为奇函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称,求证：函数y＝f(x)是以4a为周期的函数．

解析

若f(x)为奇函数,则图象关于原点对称,f(－x)＝－f(x),由条件得f(2a－x)＝f(x),f(2a＋x)＝f(－x)＝－f(x),故f(4a＋x)＝f(x),所以f(x)是以4a为周期的函数．

3 利用函数的周期性求值或范围

例3设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)＝2x－x2,则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝________．

解析

因为f(x＋2)＝f(x),所以函数f(x)的最小正周期T＝2．又当x∈[0,2)时,f(x)＝2x－x2,所以f(0)＝0,f(1)＝1,则

故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝1009．

点评根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论……