◇ 山东 刘 丽

数列是一种特殊的函数,所以一些数列问题中也存在着包括周期性在内的和函数基本性质相关的问题．有些数列问题,表面上看似与周期性无关,实际上隐含着周期性,若不加以分析,很难找到求解策略,而一旦找到数列中的周期性,问题往往便迎刃而解了．本文结合实例论述巧借周期性,妙解数列题．

1 求解和式递推数列中的项

例1在数列{an}中,a1＝1,a2＝3,对所有自然数n都有an＋2＝|an＋1|－an,则a2019的值为_______．

解析

由题意和递推关系式an＋2＝|an＋1|－an,结合a1＝1,a2＝3,易求得a3＝2,a4＝－1,a5＝－1,a6＝2,a7＝3,a8＝1,a9＝－2,a10＝1,a11＝3,a12＝2,…,于是归纳可知数列{an}具有周期性,其周期为9,所以a2019＝a224×9＋3＝a3＝2．

点评

利用条件中的和式递推关系式加以归纳处理,这是破解此类和式递推数列周期性问题的技巧．根据数列的和式递推关系式进行逐个推导,求解难度比较大,计算比较烦琐,有时还无从下手．而通过递推关系式分析后结合相应的规律归纳其周期性,一般中见特殊,可使问题快速获解．

2 求解分式递推数列中的项

例2已知数列{an}满足a1＝1,a2＝2,且对任何自然数n都有,则a2019的值为_________．

解析

故数列{an}是以4为周期的数列,结合a1＝1,a2＝2,可得,所以

点评

利用条件中的分式递推关系式加以迭代处理,这是破解此类分式递推数列周期性的技巧．在采用迭代法时要注意的是如何确定迭代的分式解析式．

3 求解递推数列的前n项和

例3已知数列{an}满足a1＝a2＝1,a3＝2,且对任何自然数n都有anan＋1an＋2≠1,又anan＋1an＋2·an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2019＝________．

解析

由于anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,则有a1a2a3a4＝a1＋a2＋a3＋a4,结合a1＝a2＝1,a3＝2,解得a4＝4,则a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＋4＝8．

又由anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,得an＋1an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4,以上两式对应相减,可得an＋1an＋2an＋3(an－an＋4)＝an－an＋4,整理得(an＋1an＋2an＋3－1)(an－an＋4)＝0,而对任何自然数n都有anan＋1an＋2≠1,所以anan＋4＝0,即an＋4＝an,故数列{an}是以……