◇ 新疆 苏伦高娃

球是一种重要几何体,由于球自身的完美对称性,常常与一些简单几何体(如柱、锥、台)结合,求外接球的表面积、体积,这是高考考查的重点和难点．这一类问题,学生的得分率较低,大部分学生都不知道如何下手,归根结底在于学生对空间问题的想象能力、推理能力和计算能力都有所欠缺．对此本文来谈谈笔者是如何在教学过程中引导学生解决此类问题的．

预备知识：

1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；

2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足：R2＝d2＋r2；

3)圆的直径所对的圆周角为直角．

1 正方体或长方体的外接球

例1 已知各顶点都在同一个球面上的长方体的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为_______．

解析

要求球的表面积,只需求出长方体外接球的半径,所以应先确定球心的位置,求出球的半径．

因为外接球球心就是长方体体对角线的中点,半径是长方体体对角线长的一半,即,求得外接球的半径后,代入球的表面积公式S＝4 πR2,可得球的表面积为14 π．

问题：在上题中,以长方体中任意不共面的四个顶点为顶点,可以构成什么样的几何体?有哪几种?它们的外接球是怎样的?

笔者在这个环节中提前准备了学案,给学生充分的时间去构造空间四面体(如图1)．

通过直观感受和交流讨论,学生能够顺利推出四面体的外接球和长方体的外接球是同一个球,从而四面体的外接球问题可转化为长方体的外接球问题进行求解．

图1

例2《九章算术》中,将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；……