张晓静，贾 高

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

研究了如下形式的Choquard型方程解的存在性问题：

方程（1）与如下形式的拟线性Schrödinger方程的驻波解密切相关：

在以往的研究中，当方程(2)中取l(s)=s时，大量学者利用变分方法、临界点理论等解决了方程解的存在性和多重性等问题。但是，关于l(s)=(1+s)1/2的研究较少。对于Choquard型半线性方程现已有许多研究，受文献[5]的启发，本文讨论Choquard型拟线性方程。因为，方程（1）中的非线性项是非局部的，无法直接使用处理局部问题的方法解决该拟线性问题。

现假设V(x)满足以下条件：

本文的主要结果为定理1。

定理1若条件(v0),(v1)成立，则问题(1)在H1(RN)中至少存在一个非平凡解。

2 预备知识

在本文中，对工作空间H1(RN)赋予范数‖u‖2=符号|u|p表示通常的Lp(RN)空间函数u(x)的范数。

首先考虑变量替换

引理1[6]对于函数g(t)和G-1(t)有如下性质：

b.对于所有的t∈R ，有

c.对于所有的t∈R，有

引理2[5]（Hardy-Littlewood-Soboloev不等式）若g(x)∈Lr(RN)，h(y)∈Ls(RN)，则存在常数C，使得

其中，r,s,α,N满足r,s＞1，0＜α＜N，

引理3若v∈Lpr(RN)，则根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知

若pr∈[2,2∗)，那么，另外，由Sobolev嵌入定理可知，当且仅当

注意到方程（1）对应的能量泛函

但是，在H1(RN)空间上该能量泛函I(u)可能无定义。因此，利用式(3)的变量替换v=G(u)将泛函I(u)转化为如下形式：

根据引理1和引理3，J在H1(RN)中是有定义的，并且J(v)∈C1(H1(RN),R)，对于任意的φ∈H1(RN)，有

进一步由引理1和引理2可知，如果v∈H1(RN)是泛函J的临界点，则u=G-1(v)∈H1(RN)，同时u也是I的一个临界点。

3 主要引理及定理1的证明

首先验证泛函J具有山路几何结构及其(PS)序列的有界性，其次将给出定理1的证明。

引理4若假设条件(v0),(v1)成立，那么，存在ρ,α＞0和e∈H1(RN){0}，使得

a．当‖v‖=ρ时，有J(v)＞α；

b．当‖e‖＞ρ时，有J(e)＜0。

证明结合式(4)、引理1、引理3和Sobolev嵌入定理，可得