肖光延，陈凤翔，汪礼胜

(武汉理工大学 理学院物理科学与技术系，湖北 武汉 430070)

无限深势阱是量子力学研究与教学中的经典问题，通常人们所关心的是这些无限深势阱的薛定谔方程如何求解，以及所解出的“定态”的概率分布可视化.前者的研究已经十分成熟，现有的教材和习题中均有涉及[1]1,2]，而后者尤其是三维势阱的可视化研究还是比较少见的.张春国[3]和杨红卫[4]等利用Matlab给出了三维无限深方势阱波函数和概率密度的切片图，这不失为一种可行的方式，但对于一些更加复杂的图案仍有一定的局限性.本文对其做出改进，绘制了电子云图像，并成功将其应用在了柱形势阱和球形势阱之中.将无限深势阱中粒子的量子行为可视化，可以有效辅助教学，帮助学生理解相关抽象概念，对量子力学理论的教学大有裨益[4].

1 无限深方势阱

1.1 一维无限深方势阱的求解及推广

一维无限深方势阱可以说是最经典的模型，该势阱实际中并不存在，但在一定条件下，很多系统都可以抽象成无限深势阱问题来处理，如量子点、量子线段等[5].其势阱可以简单描述为

(1)

这个势阱的定态解为

(2)

(3)

其中，m=1,2,3,….

以上结论可以直接推广到二维和三维的情况，对于二维势阱，有

(4)

(5)

(6)

对于三维势阱，则对应的波函数和能级分别为

(7)

(8)

1.2 无限深方势阱可视化

借助Matlab软件中强大的计算和显示功能，我们依托GUI界面开发了无限深势阱显示界面，可以通过下拉菜单选择一维势阱、二维势……