董 键

(曲阜师范大学物理工程学院，山东 曲阜 273165)

密立根油滴实验已经做过100多年了[1-3]，由于其独特的科学价值和教学价值，一直以来被各个大学选为学生实验，一代一代的大学生都在重复做着该实验，学生们喜欢做这个实验，因为它能直观地证明电荷的不连续性，即电荷量是量子化的，这个科学事实太重要了.然而，对这样一个经典实验，当下存在着不同做法，有的做法不甚合理，甚至不甚科学，没有发挥好该实验的科学认知和实验训练的价值.众所周知，油滴实验的科学内容分为两个方面，定性的方面是电荷量量子化，定量的方面是测量基本电荷.作为定性特征，要证明电荷是不连续的，自然不能拿一个电荷量的值做为证据，但也不能只靠少数几个油滴的电荷量就做出结论，它需要足够多的油滴数据，用统计分析进行证明，重要的是让数据说话，而不能“替数据说话”，即不能事先假定电荷量是量子化的，用“倒过来”的方法来证明量子化.这个道理，很多人都是认同的，但具体到对学生的要求上，就是另一回事了，原因是学生实验时间有限，测不了很多油滴，于是，有的作者开始“替学生着想”，用各种“后期算法”来“证明”，几个油滴的数据(10个以内)也能证明电荷量量子化，仿佛有“捷径”可走.另有一些作者，将不同年级学生实验的数据收集起来，数量上千个，着实足够，但却忘了来自不同仪器和不同学生的数据精度参差不齐，不能混用.更有的作者，自己不做实验，从网上搜集他人数据，用繁琐的算法，计算基本电荷的值，这样做的意义值得怀疑.在各种油滴实验的做法中，往往对于考察电荷量定性性质方面不突出，而把精力集中在计算基本电荷的数值上，对于后者，又不是着重把数据测得更准，而是试图用算法将基本电荷“算的更准”[4-8].如果不加以澄清，将会降低油滴实验的科学意义，弱化该实验在学生心目中的形象，使学生漫不经心地对待该实验，以凑合着交差过关为目标，那就可悲了.

基于以上认识，本文用“平衡法”重做油滴实验，希望提供不同的参考视角.文中严格求解实验方程组，认真对待布朗运动，把平衡态掌握得更准，分析对下落时间求平均的必要性，使电荷量测量误差显著减小；采用新的电荷量作图法，简洁地显示电荷量的分组性即量子化，由此衍生出元电荷新的计算方法；导出电荷量测量误差的分布规律，并用测量数据的有效数字的限制进行了解释，为选取合适的油滴奠定了理论基础.实验采用南京培中科技开发所MOD5型油滴仪.

1 油滴实验的“平衡法”

密立根油滴实验的“平衡法”主要分两步，第一步是将带电油滴控制在均匀电场中静止，电场由两个平行电极板提供，见图1.第二步是将板极电压调整到零，让油滴自然下落，进入匀速运动状态.先不计空气浮力，这两步对应的方程组是

(1)

mg=6πηrv

(2)

其中m是油滴的质量，g是重力加速度，d是极板间距，U是板极电压，r是油滴半径，η是空气黏滞系数，q是油滴所带的电荷量(实验测量的目标)，v是油滴匀速下落的速度，它可以通过测量油滴经过竖直高度l所用的时间t来计算.

图1 油滴实验原理图

(3)

方程(1)和(2)有3个未知量：r、m和q，不能求解，需要补充一个关系式：

(4)

其中ρ是油的密度.考虑到油滴的尺度是微米量级，空气的黏度需要用下式修正，

(5)

η0是用宏观方法测量的黏度，它是温度的函数，需要事先测量出来；p是实验时的气压，气压和温度都需要测量；b是修正常数，取为8.23×10-3m·Pa.

现在可以求解方程组(1)、(2)和(4)了，得到油滴半径和电荷量，教科书上给出的都是近似公式，现在，计算软件很发达，例如Mathematica，严格求解，结果如式(6)、式(7)所示.

(6)

27bglp2ρ0η0t-2b3g2ρ2t2]

(7)

实验是在寒假里进行的，实验室停暖，室内气温0 ℃(有助于降低油的挥发)，气压1.01×105Pa，采用701钟表油，密度991 kg/m3，黏度1.91×10-5kg/m/s，当地的重力加速度是9.797 m/s2，l=2.00 mm，d=5.00 mm.

2 布朗运动的影响

“平衡法”的两步都明显受到油滴布朗运动的影响，是实验中最大的影响因素，需要认真对待.首先，由于布朗运动，油滴无法静止，给判断何时才是重力与电场力的平衡状态带来了莫大的难度.模拟计算显示，即使重力与电场力平衡了，布朗运动也会导致油滴持续向一个方向运动[9]，比如往上运动，没有经验者就会认为板极电压大了，减小之，如此反复，最后没有了衡量标准，随便取一个“差不多”的电压作为平衡电压.正确的判断方法是：将油滴移动到屏幕某条水平格线附近，如果能保持几秒不离开格线，以后即使离开了格线，向一个方向运动，不要马上调整电压，观察其运动，若油滴还能反方向运动，说明板极电压离平衡电压不远了，再将油滴移动到格线上，观察还能否保持不动，微调板极电压，使之保持几秒不离开，这个电压就可以作为平衡电压.这个过程可能反复几次，需要若干分钟，没有耐心不行.若只看油滴短时间不离开格线就决定其平衡态，有时候会导致10～20 V的误差.

(8)

竖直线段表示某个油滴下落时间的残差分布范围.

图2 油滴下落时间的残差分布

表1是从所测油滴选出来的代表，它们的下落时间分布更具体的展示出来，随着下落时间的增长，时间的起伏增大，好像比线性增大的更快，最短时间与最长时间差别可达8 s，这远远超出了人按按钮的反应时间0.2s，这种起伏就是布朗运动影响的证明.经验表明：对于一个计时熟练的人来讲，下落时间小于15s，测量一次就够了；时间大于15s之后，就需要反复测量，用平均值作为计算用的下落时间，因为起伏相对于平均值是对称分布的.这是一个利用误差分布特点来减小误差的很好的例子，取平均方法的合理性也被关舒月等人的模拟计算所证明[10-11].

表1 反复测量的油滴下落时间分布 (n：油滴编号，i：测量次数)

3 “电荷量-编号作图法”证明电荷量子化

油滴实验的作用就是证明电荷的量子化，这不能通过一个油滴的电荷量来证明，必须通过大量油滴的测量，用统计比较的方法来证明，如果电荷量有分组性，就证明是量子化的.为此，笔者要求学生至少测量20个油滴，才能用电脑进行计算，用下面的作图方法来显示电荷的量子性：用油滴的编号n做横轴，用电荷量q做纵轴，简简单单地将电荷量“晒”在平面上.表2是笔者测量的120个油滴的平衡电压和下落时间数据，图3展示了根据这些数据计算出的油滴电荷量分布，具有明显的分组性，即：同一组的电荷量近似相等，不同组之间是宽大的无电荷区，电荷量子化的特性得到直观的统计证明，这样给学生的印象更深刻.

表2 平衡法测量120个油滴的实验数据(U：平衡电压，下落时间平均值)

4 求基本电荷

图3 油滴电荷量子化的图示

表3 各组电荷量的平均值(k：组别)

作电荷量平均值随组别k变化的图，见图4.该图显示，不同组的电荷量呈良好的线性增大，若做线性拟合，数据点都靠近拟合线，这就是前述电荷量分布特点的定量表示，其中拟合线的斜率自然就是基本电荷e了，其值为(1.585±0.005)×10-19C,这就是图3纵轴分度值的由来.顺便指出，若计及空气浮力项(0 ℃，空气密度1.293 kg/m3)，则用同样的测量数据计算的基本电荷是1.587×10-19C，仅对e值小数点后第三位带来小的修正.如果拟合时取的电荷组数再小一些，e的值会有所不同.

图4 各组电量平均值的分布与拟合线

图5 各组电量标准差的分布

5 电量测量误差的分布规律

在计算每组电荷量平均值的时候，同时也算出了该组电荷量的标准差δk，其分布曲线见图5，k是组序号(图中缺少第8和第12组的数据，因为从图3画三角形的两个地方看，那些组只有一个数据，不能计算标准差).曲线显示，标准差的分布趋势是随着组别k的增大而增大的，由此推论：当电荷量误差超过半个基本电荷时，就无法判断该电荷量属于哪个分组，量子化就无法证明了.图3中用红线圈起来的两个数据点就属于这种情况.因此，相对误差的概念在本实验是失效的，降低绝对误差是本实验所要求的.

图5显示的规律是客观的，为什么会这样呢？笔者发现，这个规律的来源有一个简单的解释，它来自测量仪表有效数字的限制[12]，具体来说，油滴仪电压表和计时器都是三位的，所显示数据的最后一位是不准确的，导致电荷量计算值有效数字也是三位(计算中间值多保留一位)，最后一位也是不准确的.

设电荷量计算值的三位分别用a、b和c表示，a不能为0，计算结果有3种可能，即a.bc、ab.c和abc(略去10-19C，余同).由于c是不准确的，它的波动范围是0～9，该范围对于不同的电荷量含义不同，对于a.bc，意味着电荷量的最大波动为0.1；对于ab.c，意味着1；对于abc，意味着10.因此，电荷量误差随着电量的增大一定是增大的.由此推论：因为当电荷量波动超过半个基本电荷(0.8)时，就无法证明量子化了，换言之，从ab.c开始，误差就可能导致量子化证明的失效，必须选择电量小的油滴，例如电荷量不超过10.0×10-19C，也就是在7个最低的分组之内.虽然有的作者是这么做的[13]，但是依据不充分、不定量，以上分析，给选择油滴提供了定量依据.

6 选择油滴一定要很苛刻吗？

上面是从电荷量大小的角度对选择油滴做出了限定，由于电荷量是由平衡电压和下落时间来计算的，自然就提出了对平衡电压和下落时间限定的问题.由于电荷量是双变量函数，选择的范围就多样化了.不少作者根据自己的分析和喜好，各自做出了选择，例如：高铁军主编的《近代物理实验》就约定电压取200 V附近的值，时间15 s～30 s[14]；于津江等限定时间20s～30 s，电压200 V附近，带电荷2～4个[15]；刘芬等主张时间20s～30 s，电压100 V～250 V，带电荷不大于5个[16]，等等.时间范围和电压范围普遍较窄，笔者认为这过于苛刻.事实上，凡是满足电荷量计算公式的电压和时间，都是可取的，只要能控制测量误差到可以接受的程度，例如如上面测量的120多个油滴所做的那样.在这些油滴中，电压取值62 V～634 V，时间取值5.5 s～78.3 s.为了显示在“极端条件”下所测量的油滴电荷量是否有很大的误差，笔者从以上油滴中选择了10个，其参数和电荷量见表4，电荷量的分布见图6，可见，电荷量的误差并不大，与所在组的电荷量均值靠的很近.既然如此，对油滴的选择条件就可以放宽：时间10s～60 s，电压大于100 V.这样，学生选择起来就容易多了，能把精力更多地放在误差控制上，也有利于测量更多油滴.

表4 部分“极端”油滴的电荷量(n：油滴编号)

图6 部分“极端”油滴的电荷量分布

图7 不计空气黏度修正的电荷量分布

7 若不计黏度修正会怎样？

式(5)是黏度的修正公式，是密立根创造的一个重要理论成果[17]，它是在实验上发现当油滴较小时，电荷量计算值偏大，而想到了微米尺度上空气的不连续性对油滴下落的影响，依据气体运动论推导出来的一个近似公式，后来证明这个修正是十分必要的，修正之后，电荷量的计算值才趋于量子化.在今天的实验教学中，学生很少去想这个修正项的来源和必要性，普遍缺乏对修正项作用的认知.其实，只要对测量数据按照非修正公式(即在式(7)中令b=0)再算一遍，结果就由图3变为图7，数据点改用圆圈标记.该图显示，电荷量的起伏性随油滴电荷量的增大而迅速增大，在第四组之后，就难以辨认分组性了，数据点几乎均匀分布在平面上，好像撒了一把沙子.在下部4个可辨认的分组中，若取每组的平均值当做该组的电荷量，则相邻两组电荷量的间隔也不再相等，且都大于1.77，第一组的电荷量最大，达到1.913，远远大于元电荷的值，即使拿第一组的平均值当做元电荷也不行.

8 述评

在密立根油滴实验中，只要测量的油滴数量足够多，只要将油滴的电荷量按编号作图，电荷量量子化就能直观地显现，无需设计其他算法去证明，电荷量量子化是统计结论.根据经验，适当限制平衡电压和下落时间的范围，可以将油滴的电荷量控制在10个基本电荷以内，误差也会减小，更有利于量子化的结论.

油滴实验的主要误差来源是油滴的布朗运动，可以针对性地采取措施，减弱误差的影响，但效果有限，由于还涉及更多的因素，用油滴实验测量基本电荷，精度不易提高.当人们接受了电荷量子化的理念之后，还可以寻求其他途径测量电子电荷，例如塞曼效应，半导体PN结的伏安曲线等等，以开阔学生的视野.

油滴实验给了学生思考很多物理问题的机会，例如：油滴是如何带上电荷的？这将给物质带电机制以怎样的启发？如何更好地描述油滴的运动？油滴挥发速率多大，将给实验带来多大的影响？油滴实验原理还有其他用途吗？等等.

油滴实验还给学生提供了数据分析的很好范例，借助于适当的计算软件，克服“数据分析恐惧症”，不再面对着一堆杂乱的数字发呆，只要有想法，软件就可以助力“拷问”数据，让它回答不同的问题，以充分发掘数据的潜力.这样内含丰富的经典实验，值得师生认真对待，倍加珍视，使之成为学生心目中的科学里程碑.