段绪星， 吴志强， 李亚杰

(1.天津大学 力学系，天津 300350；2.天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津 300350)

噪声激励下非线性系统的动力学行为及其控制近些年来引起了国内外学者的广泛关注。噪声激励可以引发一系列动力学现象，如相干共振[1-2]、随机P分岔[3]、首次穿越[4-5]等。针对这些现象，人们引入了多种手段对其进行调控，如时滞差分反馈控制[6]、分数阶控制[7]等。因没有通用设计方法，人们常通过探讨控制参数的影响来为控制参数的选择提供参考。

广义van der Pol方程能呈现平衡点与极限环共存的多稳态现象，常作为多稳态系统的范例来探究随机激励的影响。Yamapi等[8]研究了高斯白噪声激励下的双稳态van der Pol系统，发现噪声强度可被看做系统的分岔参数。Mbakob等[9]研究了相关噪声诱导的随机P分岔现象，发现相关时间和噪声强度均能引起系统幅值概率密度曲线的定性变化。Zakharova等[10]的研究结果指出当双稳态van der Pol系统的稳定系数位于鞍结分岔点附近时，相干共振和随机P分相关。郝颖等[11]基于奇异性理论求出了噪声激励下三稳态van der Pol-Duffing系统幅值概率密度拓扑结构发生改变的临界参数条件。Zhang等[12]研究了循环噪声激励下的三稳态van der Pol系统，发现循环噪声的时滞和比例系数均会诱导系统发生随机P分岔。

近年来，诸多学者开始将时滞反馈控制应用到van der Pol系统中。Guo等[13]研究了位移和速度时滞反馈共同作用下的双稳态van der Pol系统，分析了时滞对系统双稳态区域的影响以及反馈强度和时滞引起的随机P分岔现象。……