江清华,袁文俊

(广州大学数学与信息科学学院,广东 广州 510006)

1 引言

假设A()是一类定义在单位圆盘:={z:|z|<1}上的解析函数集合.1914年,Bohr[1]得到了在单位圆盘上的解析自映射f级数展开式的模的大小估计.下面是著名的Bohr不等式,如果

那么

Bohr实际上得到的半径|z|=,后来Wiener,Riesz和Schur[2−4]分别研究得到了精确的半径|z|=.Bohr不等式也可以换一种描述,如果

那么

对于

Bohr不等式的一个等价形式

这里的d是欧氏距离.上述不等式描述了解析映射把单位圆盘映射到单位圆盘的边界上的Bohr现象.最近,Defant等人研究了多维Bohr半径与局部Banach空间理论之间的关系,并且获得了关于多圆盘Dn[5]对于n维Bohr半径的最佳渐近值的估计.

2 预备知识

这一节,给出一些相关记号和概念.单位圆盘D上的调和函数是指复值函数

且满足Laplace方程

u,v均为单位圆盘上的实值调和函数.由此f有规范表示f=h+¯g,这里的h,g均为单位圆盘上的解析函数,且满足f(0)=h(0).我们说f在单位圆盘上局部单叶且具有保向性是指其Jacobian行列式Jf(z)>0,或者等价地说,在单位圆盘上其第二复特征有此特性|ωf(z)|<1[6].

假设B)表示一类由函数ω∈A()且满足|ω(z)|<1的集合.定义在单位圆盘上的对数调和映射就是一类非线性偏微分方程

的解,其第二复特征ω∈B().因此Jacobian行列式

当f是一单位圆盘上非退化的对数调和映射,有下列表达式

这里的h,g均属于A().在文献[7],作者Mao等人对于非退化的对数调和映射引进了Schwarz导数概念,研究Schwarz引理并获得了两种Landau型定理.

如果f是单位圆盘上的非常数对数调和映射,其仅在z=0处退化,那么f有下列表达式[8]

此处的m是非负整数,Reβ>−,h,g均为单位圆盘上的解析函数,满足h(0)0和g(0)=1,指数β仅依靠ω(0),有如下关系式

f(0)0,当且仅当m=0,有一类单叶对数调和映射仅在原点退化,当且仅当m=1,也就是说f有下列表达形式

此处像区域(……