吴少华,吴迎东,程 新

(武汉大学数学与统计学院,湖北 武汉 430072)

1 引言

在本文中,我们考虑如下模型:

在过去几十年中,抛物型方程的研究取得了丰硕的成果,其中以美国科学院院士Avner Friedman为首的数学家,更是将这一领域的研究推向了极高的水平.在文献[1]中,Friedman院士利用先验估计证明了抛物组解的可微性,随后,他在文献[2]中证明了,各种不同的积分增长条件下,一般抛物组的唯一性定理.Mizohata[3]则用半群的方法给出了Cauchy问题的存在性,Tychonov[4]则对热传导方程首先建立了Cauchy问题解的唯一性.在Friedman的论文[5-8]中,集中解决了关于抛物型方程的自由边界问题,即

其中x=s(t)不是已经给定的边界,而是和u(x,t)一起寻找的自由边界.在此基础上,自由边界的问题得到较为充分的研究,Douglas[9]与Kyner[10]则发展了Friedman研究自由边界的方法,考虑了非经典的热方程.

近年来,学者们则开始研究关于热传导方程带记忆项边界问题的研究[11,12],记忆项即带有时间积分边界条件.带记忆项的自由边界问题,有核反应堆动力学相关问题[13],人口流动问题[14].关于这类模型的局部(或整体)解的存在性,稳定性,有限时间爆破都被Y.Yamada,P.Souplet和P.Vernole等人讨论清楚了.

粘弹性模型中也研究了扩散中的记忆项非牛顿流体中的力[15],还有涉及带有记忆项的Fisher方程形式的模型的研究[16,17].在这里需要指出的是,分数阶时间导数作为记忆算子已经在D’Arcy定律和分子传输的记忆形式学中进行了研究[18],关于气候模型中扩散和反应,我们也引入了记忆条件[19].

有两个……