毕 峰, 贾晓芬

(安徽理工大学 机械工程学院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

永磁同步电机具有结构灵活紧凑、起动转矩大与电枢反应小、高效率与低温升、可靠性与性价比高等益处。近年来，随着永磁材料的性能改善、电子电力技术逐步提高以及生产技术不断改进[1]，永磁同步电机(PMSM)已经深入应用到医疗设备、航空航天、家用电器、军工航海、工农业生产等各个领域中。然而，PMSM是具有强耦合性和复杂多变性的非线性系统[2]，要实现良好的转速和转矩控制比较困难，因而采用一定的控制算法来改善电机的控制性能显得非常重要。

随着矢量控制理论的引入和微型计算机技术的不断成熟，PMSM矢量控制主要分为有传感器和无传感器控制。在采用磁场定向矢量控制时[3]，关键是需要准确判断出转子位置和速度来实现有效闭环控制。然而，工程应用中往往是在电机转子轴上安装一系列机械传感器，这会带来众多问题[4-5]，例如:提高了系统成本、尺寸和重量，同时降低了系统可靠性和抗干扰性，增加了驱动系统硬件复杂性，从而导致电机系统控制性能恶化。无传感器矢量控制则不存在这些问题，它是通过检测电机绕组中的相关电信号来实现转子位置和速度的估计，代表了三相PMSM控制系统的发展趋势。为此众多科研学者大量研究如何省略电机转子速度/位置传感器，当下高性能无传感器矢量控制技术的广泛应用势在必行，已成为电机控制领域的一个热门话题。

无传感器控制策略主要有[6]:直接计算反电势法;滑膜观测器法;人工智能估算法;模型参考自适应法;高频信号注入法和EKF算法:实现系统高精度稳定实时控制[7],适用于自适应非线性系统，可在全速范围内完成速度位置估计，还可以估计相关状态和一些参数。

本文通过仿真验证了基于EKF算法的PMSM无传感器控制系统，具有高精度控制能力、迅捷的速度响应能力和精准位置的跟踪检测能力。

1 PMSM的线性化设计

1.1 PMSM数学模型

为了简化PMSM数学模型，首先假定PMSM是一个理想电机，且满足以下条件[8]:

1、忽略电机绕组漏感和铁芯饱和；

2、忽略磁滞和涡流损耗；

3、电流为三相正弦电流且无高次谐波。

这样，静止坐标系下PMSM三相电压方程为:

(1)

将电压方程转换为电流方程:

(2)

因为PMSM机电时间常数要比电气时间常数大得多，所以相邻采样点转子的转速增量可看作常数值零，即存在以下关系:

(3)

建立PMSM状态方程:

(4)

(5)

(6)

(7)

由于PMSM状态方程是非线性的，正是因为这种非线性，使得式子(4)需要用EKF算法来实现线性化。

1.2 EKF算法

EKF主要利用泰勒级数展开来进行线性化泰勒截断，将线性卡尔曼滤波原理推广到非线性的电机系统中。

利用EKF对式(4)线性化处理，结果为:

(8)

式中定义:C(k)-观测矩阵；W(k)-测量噪声；V(k)-系统噪声

假设W(k)和V(k)均为零均值高斯白噪声，那么统计特性为:

E{V(k)}=0,E{W(k)}=0

(9)

其中:E{}表示数字期望值

在上述算法的循环递归过程中，将用到的测量噪声W的协方差矩阵R以及系统噪声V的协方差矩阵Q界说为:

(10)

将EKF的状态估算划为两个部分:预测部分和更新修正部分，其预算过程主要分为以下步骤:

(11)

式子中:“～”表示为预测值，“^”表示为状态估计值，Ts-采样周期

(12)

(13)

式中:

(14)

F(k)=

(15)

4)在此基础上求出卡尔曼滤波增益矩阵K(k+1):

(16)

(17)

(18)

EKF算法就是式子(11)到(18)的一个递归循环运算，经过上述循环，可以获得转速和位置的估计。要注意，滤波的采样周期Ts要非常小，仿真和控制的周期不宜太长，否则会导致较大的累积误差。

PMSM的电流矢量控制方式因其结构特征和用途而异，其中又以id=0控制比较简单，计算量小，鲁棒性好，所以控制方式采用id=0的控制策略。

2 算法仿真实验

2.1 EKF仿真参数设定

基于仿真模块化的设计思路，利用Matlab/Simulink搭建系统仿真模型如图1所示，主要包括: 输入输出模块、电流和转速调节器环节、PMSM电机模块、EKF估算模块和逆变器模块等。

图1 基于EKF的三相PMSM无传感器控制仿真模型

其中仿真PMSM模型的部分参数如表1所示:

表1 仿真模型部分参数表

为了保证仿真的实时性，EKF算法采用s函数编写，这样可以避免m语言调用了Matlab函数使仿真速度减慢。值得注意的是，EKF滤波算法是基于递推循环运算来对数学模型进行最佳估计的一种方法，而不是针对整个实际调速系统，因此估计值和实际值之间会有一定的偏差。一般对于状态矢量和协方差矩阵需要给出初值。当然并不要求精确选择初始状态矩阵和误差协方差矩阵的值，毕竟这对系统收敛没有太大的影响。本仿真实验中误差协方差矩阵以及初始状态矩阵初值如下：

2.2 仿真结果

为了验证仿真模型的准确性，设定仿真时间为0.4s，参考转速设定为1000r/min,进行空载实验。

2.2.1 转速及误差分析

图2 转速估计值与实际值的变化曲线

图4 位置实际值与估计值的变化曲线

图2给出了转速估计值与实际值的变化曲线对比图，并对两者进行了误差分析，结果见图3。从图2和图3可以看出，当电机的转速由零速上升到1000r/min时，转速估计值与实际值保持继续向上的状态，分别到达1080r/min和1190r/min附近，此时电机转速有一些超调量。随后在0.05s处，转速估计值优先进入稳定状态，转速实际值紧随其后在0.075s处也进入稳定状态，至此两条曲线近乎重合。从误差曲线来看，误差值在转速上升初始阶段发生较大变化，但随着转速的上升，在0.075s附近开始企稳后误差逐步减小最后趋于0位置附近。

2.2.2 位置跟踪及误差分析

图4给出了位置实际值与估计值的变化曲线对比图，对两者的误差分析结果见图5。从图4和图5可以看出，随着电机转速的上升转子位置实际值与估计值之间的曲线近乎重合。从误差曲线来看，最开始转子位置估计误差在-0.8rad到0.7rad之间有小幅波动，但是很快在0.04s左右，系统快速响应，过渡时间较短，误差逐渐减小趋于0位置附近，这说明了系统位置检测较为精确。

图5 转子位置估计误差的变化曲线

图6 定子电流估计值与实际值的变化曲线

图7 定子电流的估计误差的变化曲线

2.2.3 定子电流及误差分析

图6给出了定子电流估计值与实际值的变化曲线对比图，对两者的误差分析结果见图7。从图6和图7可以看出，随着电机转速的上升，定子电流估计值与实际值最高到达28A后往下波动存在一定的超调量，在0.04s附近定子电流的不稳定波型逐渐变为正弦对称波型，估计值与实际值之间也近乎重合状态。从误差曲线来看，一开始定子电流的估计误差波动在-12.5A至8A范围内，在0.04s附近误差慢慢减小最终趋于0位置附近。

3 结 语

通过基于Matlab/Simulink的建模与仿真，分析了基于EKF算法的PMSM无传感器控制系统的性能。结果表明，EKF算法具有预测和及时更新修正功能，适用于一些非线性系统的状态估算，而PMSM电机转子在低速和高速的范围内都有较好的速度跟踪能力和位置检测能力，抗扰动性强且动态响应速度较快，可以说明基于EKF的无传感器控制技术能够满足实际电机的控制需求。