杜玉坤

（广东茂名幼儿师范专科学校 理学院，广东 茂名 525200）

维数是分形几何的中心概念，其中盒维数是应用最广泛的维数之一.文献［1-2］给出了盒维数的定义.部分分形是以函数图像的形式出现的［3-11］，当把众多现象绘制为时间的函数时，就会显示分形的特征，例如风速、股票数据等.本文先讨论函数图像盒维数的性质，再具体研究函数和图像的盒维数，在理论和应用上对研究函数图像的分形性质都具有重要意义.关于函数图像的盒维数的具体详细细节可以参考文献［12］.

1 预备知识

定义1设f∶I→R是连续函数.设δ＞0，x∈I，记Of，δ（x）为函数f在点x的δ-振幅，即：

定义2设［a1，b1］∈I，函数f在［a1，b1］上的δ-变差Vf，δ［a1，b1］定义为f的δ-振幅在［a1，b1］上的积分：

在不产生混淆时，可以简单地记为Vf，δ.

命题1设f，g∶I→R是连续函数，则Vf，δ-Vg，δ≤Vf+g，δ≤Vf，δ+Vg，δ.

引理1设f∶I→R是连续函数，有dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I）=inf.称dimBГ（f，I）为函数f图像的上盒维数，dimBГ（f，I）为函数f图像的下盒维数.若：dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I），则称这共同的值为函数f图像的盒维数，记为dimBГ（f，I）.

命题2设f，g→I上的连续函数，如果Vf，δ＞|a|Vg，δ，则dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）.

证dimBГ（f，I）==dimBГ（g，I）.

命题3f是I上的连续函数，若dimBГ（f，I）存在，则：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）（a≠0）.

证dimBГ（af，I）=sup

同理可证：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

由于dimBГ（f，I）存在，故dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

引理2如果dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），则dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）.

引理3设f在I上满足一致与反一致s阶赫尔德条件，则dimBГ（f，I）=2-s.

因此有如下几个问题：（1）dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）时，对于dimBГ（f+g，I）我们能得到什么呢？（2）dimBГ（af+bg，I）=max{dimBГ（f，I），dimBГ（g，I）}，（a，b≠0）是可能的吗？（3）若f，g在I上满足一致与反一致s阶赫尔德条件，那么对dimBГ（f+g，I），我们能得到什么结果？

2 定理及证明

定理1设f，g是I上的连续函数，若dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），有：

证由假设可知，对于所有充分小的δ＞0，有Vf，δ＞Vg，δ，即max{Vf，δ，Vg，δ}=Vf，δ.由命题1和引理1得：

则由式（1）、（2）可以得到：

由式（1）可以得到：

由命题3知：

进而得到：

由式（3）、（4）可以得到：

进而由式（2）、（5）可以得到：

定理得证.

定理……