张舒翔，张其林

（同济大学 土木工程学院，上海 200092）

结构动力反分析是指在未知结构动力特性、质量分布、刚度以及阻尼等结构信息的前提下，通过既有结构布置传感器的时域数据对结构动力特性进行逆推[1-2]。这是土木行业重要的研究领域[3-6]，尤其是超高层建筑[7-9]。一幢大厦的动力特性识别结果往往能反映结构健康状态[10-11]。因此，楼宇动力特性的数据监测分析将成为建筑结构安全健康的重要标志[12-13]。目前主要的动力反分析方法有峰值法和子空间法等。

1 计算方法

1.1 峰值法

峰值法（peak-pi cking method，PPK）利用结构响应谱与频响函数的相似关系进行参数辨识。在多自由度系统中，频响函数为：

其中：i代表模态阶次；Ri是留数矩阵；Pi表阶特征频率和阻尼比：

若结构阻尼较小，频率离散。当ω=ωi时，H(jω)中可近似由单个模态决定，此时系统为单自由度体系，上式化为

结构响应信号功率谱和输入信号功率谱的关系式

其中：Gx(jω)表输入功率谱；H(jω)表传递函数；Gy(jω)表输出信号功率谱。

一般认为环境输入具有白噪声特性，它的功率谱函数Gx(jω)为常数，所以计算得到的功率谱函数Gx(jω)在特征频率ωi处峰值与其传递函数H(jω)相关。此时，特征频率可以通过功率谱的峰值坐标来定位[14-16]。

当测量点较多时，平均规则化功率谱密度（averaged normalized power spectral densities，ANPSDs）可用于选择峰值和识别平坦度，以包含所有测量点的功率谱信息。计算公式

其中：n代表总测点个数；代表i测点功率谱密度函数。

1.2 随机子空间识别法

随机子空间识别法（stochastic subspace identification，SSI）在目前的时域模态参数识别中有着广泛的应用。

对于线性MDOF（multi-degree of freedom）系统，随机模态空间模型可由以下公式表示

其中：xk为一向量表离散时间状态；yk是结构的响应；vk和wk表测量的噪声；A是特征矩阵；C为输出矩阵。

Hankel矩阵可用相关函数R构造如下形式

其中：Rk表相关函数；Oi、Ci分别表示离散空间方程中的可观测矩阵与可控制矩阵，其中：

对Hankel矩阵进行分解，再根据矩阵Oi、Ci的特点，即可求得矩阵A、C。

对特征矩阵A进行如下特征值分解

在得到Λ矩阵后，可以计算出特征值λI[13]，在用下式求得结构的特征值：

其中：ωi为对应阶数阶固有频率；ξ表阻尼因子。

至此，可得到结构的频率f和振型Φ：

在计算随机子空间时，应假定模型的阶次，否则易导致误模，最后由稳定性图分析辨识结果。稳定轴源于稳定图的极限值，通常由经验公式确定[17-19]。

其中，MAC表示模态保证准则

2 小模型计算

2.1 模型选取

小型模型采用简单三层框架模拟，如图1所示。采用正弦激励方式向结构施加荷载，记录各个测点的相应数据。模型采用焊接对称工字型截面，截面为柱280 cm×120 cm×4 cm×6 cm，梁250 cm×100 cm×418 cm×6 cm，柱与短梁为3 m长，长梁4 m长，均采用Q235B钢材，所有节点均采用刚性连接，测点布置在所有节点，传感器布置图及监测方向如图2所示，共12个。

图1 小型框架的三维线框模型

图2 小型框架的测点布置

2.2 结果比较

在该小模型中，其峰值法识别图与子空间法稳定图分别如图3与图4，根据峰值拾取法与随机子空间模态识别规则，其频率识别结果如表1所示，其结果对比图如图5。根据表1中识别结果误差的对比，在前九阶的模态识别结果中，两种方法在绝大多数识别结果中误差均能保持在5%以下，拥有较高的准确度。

因此，在该小模型中峰值法和子空间法前几阶的模态识别均能保持较好准确性，二者在分析时均能保证较高拟合程度。

图3 小型框架测点数据峰值法识别图

图4 小型框架测点数据子空间法稳定图

表1 小型框架峰值法与子空间法识别结果对比

3 大模型计算

3.1 模型选取

大模型选取天津周大福金融中心，这是一座530 m的超高层建筑，坐落于天津滨海新区。主要由中央钢筋混凝土核心筒、一个由结构性钢边梁组成的周边抗弯钢框架以及一个斜柱与环带桁架系统组成。取其一个星期的健康记录检测数据进行分析[20]。监测点共五个，分别在32楼一个，58楼两个，71楼两个。

图5 小型框架真实振型与峰值法及子空间法识别振型结果对比图

3.2 结果比较

在该模型中，其峰值法识别图与子空间法稳定图分别如图6与图7所示，根据峰值拾取法与随机子空间模态识别规则，其频率识别结果如表2所示，其结果对比图如图8所示。根据表2中识别结果误差的对比，随机子空间法识别结果中大部分识别结果误差均在5%以下，而峰值法识别结果均与实际振型结果有较大偏差。

因此，在该模型中相较于峰值法的识别精度，子空间法对复杂大跨度结构的模态识别具有更好的准确性，在大跨度结构模态识别选择上，子空间法具有更好的适用性。

表2 金融中心峰值法与子空间法识别结果对比

图6 金融中心测点数据峰值法识别图

图7 金融中心测点数据子空间法稳定图

图8 金融中心真实振型与峰值法及子空间法识别振型结果对比图

4 小结

现代建筑结构的动力反分析，直接反映了建筑的健康状态，与一般模态识别不同，建筑结构模态激励方式往往复杂而多样，例如风荷载、人荷载、地面荷载等，这会导致建筑结构监测数据复杂且噪音大。例如本文周大福中心监测数据，在白天及风级较大的时段，数据往往无序而杂乱，因此计算方法的适用性至关重要。

对小模型而言，峰值法与子空间法均能计算出相应模态，具有较好准确性。对大模型而言，峰值法适用性降低。由于抗震构造及尺寸效应的存在，复杂大跨度结构的阻尼一般并非线性。而峰值法计算时所做假定为线性阻尼。因此，这是该算法无法适用于大模型的主要原因。同时，在复杂大跨度结构中，数据噪音更多，复杂度更高，而子空间法在逐阶稳定中能降低噪音影响，同时由于逐阶增长，该算法保证了结构非线性阻尼的适用性，因此子空间法在大跨度结构计算中拟合度更为优异。