◎陈圣文 （福州时代中学，福建 福州 350007）

含参函数就是函数中含有不能确定的常数，求解时需要对该常数的取值（大小或正负）进行讨论，这样的函数问题就是所谓的“函数的含参问题”．含参函数经常作为中考数学的压轴题出现，因此含参函数的重要性不言而喻．新课程标准指出：应充分考虑本阶段学生数学学习特点，各个领域学生的认知规律和心理特征，这样有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程．教师在实际教学中发现学生在解决含参函数问题时存在很多不足，因此本文尝试以几道中考题为例进行分析，以期能寻求高效的解题思路和方法，提高学生的解题能力．

学生解决参数问题的最大困难是什么？ 就是根本不理解参数代表什么意义．例如在学习一次函数时，出现这样的一次函数y＝kx＋k（k≠0），有些同学就会忽略这个函数隐含的条件，也就是当x ＝-1 时，y ＝0，即这条直线过定点（-1，0），所以参数k 起何作用？ 我们在这里就要给学生介绍清楚，k 会改变，但不变的又是什么，如果一次函数讲清楚了，到学习二次函数y＝ax2-2ax＋a（a≠0）时，学生就会发现，这个二次函数隐含了很多信息，比如它的对称轴为直线x ＝1，顶点为（1，0）．

在二次函数中有一题：

例1已知A（0，1），B（2，1），若函数y＝x2-2kx＋k2＋k（k-1≤x≤k＋1）的图像与线段AB 恰有一个公共点，求k 的取值范围．

在这道题中，学生认为困难的地方在哪儿？ 函数如果能够配方为y＝（x-k）2＋k，不难发现顶点为（k，k），但问题在于，自变量取值范围也同样含参，那怎么破解？ 这可是多数同学望而却步的难点，仔细观察发现连不等式两边都有k，如果消参数k，则两式对减得（k＋1）-（k-1）＝2，所以它是一条定长为2 的线段，如果仅到这一步，学生仍无法入手，再发现连不等式两边都有1 与-1，所以两式对加，我们发现（k＋1）＋（k-1）＝2k，所以这条线段是关于直线x ＝k，即抛物线的对称轴对称的．那么这题所有的问题就迎刃而解了，所以首先从学生畏惧点入手，才是解决问题的关键．

接下来我们再以一道最值问题来研究，这是初中数学中常见的问题，也是含参函数中经常出现的问题，如何巧妙解决最值问题是十分值得思考的问题．

例2已知抛物线y＝mx2＋（m-2）x-2m＋2（m≠0）．

（1）求证：抛物线与x 轴有交点．

（2）若抛物线与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且点A在点B 的右侧，x1＋2x2＝1．

①求m 的值；

首先，题目很简洁，二次函数含参数m，m 起的作用是什么？ 对下面的问题有何影响？

第（1）问是最基础的考点，主要考查Δ 的应用，通过Δ＝（m-2）2-4m（-2m＋2）＝9m2-12m＋4 ＝（3m-2）2≥0 来证明抛物线与x 轴有交点．这问中m 起什么作用？ 可以唤起学生对含参问题的讨论，如果不配成完全平方式，又变成了关于m 的二次函数，还要继续讨论新抛物线与x 轴的交点情况，所以采用配方（即代数法）来完成．可见参数确实会干扰部分同学解题．第（2）问的第一步是求m 的值，这时，我们可以来解决m 的影响，有了参数m，抛物线哪些是变化的，哪些是不变的？ 通过（1）不难发现，Δ 可化为完全平方数，说明该抛物线与x 轴交点是可以计算的，不管是用因式分解法还是公式法都可以算出两个交点为（1，0）和可见m 会影响其中一个交点．所以这里面就涉及了分类讨论的数学思想，由参数m 控制的这个点在（1，0）的左边还是右边，再求抛物线的对称轴为直线然后代入抛物线解析式求解m．第（2）问中的②引入了新的参数n，点有什么意义？ 这就是纵坐标可以看成关于横坐标n 的一次函数，即G 是直线上的点，从而通过数形结合，求解得出PG 的最小值．

从上面这道中考题来分析，可以说从一维的数轴开始，从变量产生开始，到二维的平面直角坐标系，函数与变量就紧密地联系在一起了．在教学过程中，教师要重视变量起的作用，含参的目的是让变量有更多种可能，在教学中思考，如果含参了，哪些是变的，哪些是不变的．教师也要指导学生发现参数的作用在哪儿，对解题的影响有哪些？ 这样学生就不惧问题了．而对于函数教学，教师要使学生了解变量之间的关系，就不可避免地要结合函数的图像，因为图像对函数起着至关重要的作用．对于初中函数教学来说，图像的变化在教学中常常属于正向教学，即给出变化方式，再进行函数形式讨论，这实际上压缩了学优生的思维广度．在函数图像变化的教学中，教师要适当进行逆向教学，即给出变化后的函数形式，逆向思考这是怎样的变化，这对于学生来说是大有益处的，也会让学优生在完成义务教育阶段之后，更快地适应高中千变万化的数学学习．

再看一题：2019 年厦门一检试题，来分析：在含参函数中经常出现求抛物线中几何图形的问题，纵观近些年来，不论是厦门中考还是福建省考最后的压轴大题，都是以含参问题不同的形式作为考题出现在试卷中的．

例3在平面直角坐标系xOy 中，点A（0，2），B（p，q）在直线l 上，抛物线m 经过点B，C（p＋4，q），且它的顶点N 在直线l 上．

（1）若B（-2，1）．

①请在平面直角坐标系中画出直线l 与抛物线m 的示意图；

②设抛物线m 上的点Q 的横坐标为e（-2≤e≤0），过点Q 作x 轴的垂线，与直线l 交于点H．若QH ＝d，当d 随e的增大而增大时，求e 的取值范围．

（2）抛物线m 与y 轴交于点F，当抛物线m 与x 轴有唯一交点时，判断△NOF 的形状并说明理由．

此题题干就含p，q 两个参数，在问题（1）的设置中，添加条件“若B（-2，1）”，则参数p，q 不再起作用了，都可以求出，而在（1）的第②问中，又引入Q 的横坐标为e，并继续添加“QH＝d”，这样多了两个参数e 与d，进一步把难度加大，那这两个参数之间有什么联系就是此题的突破口．经分析发现d 实际上就是点Q 与点H 的纵坐标差，故只要将Q，H纵坐标用含e 的代数式表达即可．在第（2）问中，又回到最初的主干信息，点B（p，q），点C（p＋4，q）这两点中的参数p，q 到底起什么作用，它们之间的联系又是什么就成为思考的线索了．发现，这两点纵坐标相同，两点又都在抛物线上，于是可知这两点关于对称轴对称，接下来就是顶点问题了，顶点在x 轴上，故顶点可以用含p 的代数式表示，即N 为（p＋2，0），又因为顶点N 在直线l 上，点A，B 又在直线l 上，所以直线l 又可以用含p，q 的代数式表示，所以就又形成新的p，q 关系式，接下来的问题就迎刃而解了．当然此题还涉及根据点的坐标判断三角形的形状，求出相应点坐标和抛物线的解析式，然后判断三角形的形状．如果学生解决这一类题目有些困难，那么教师可以考虑为学生准备一道类似的证明题，通过这样的反复练习夯实基础，学生在解决这样的问题时会变得游刃有余，对于这方面内容可另外研究．

由此可知，含参问题不可怕，就是不断从中找出参数间的联系，而这种联系往往相互制约，为了达到最简捷的目的，就是将多元参数尽可能消元，即利用我们的消元思想．而这种消元意识完全可以在平常教学中渗透．回归初一课本，在二元方程中的消元不正是我们解决问题的源头吗？ 同时，了解函数及其图像必不可少，像上题中，找到不同参数的关系，同样是借助函数图像来解决问题的，教学中既要回归课本，也不能拘泥于课本．

目前含参函数的题型越来越受到关注，这使得我们接下来的教学启发和教学方向越来越清晰，当函数的题目不再几何化，而是回归函数本质时，提升学生解决含参问题的能力就显得越发重要了．而在高中阶段，教师培养学生从不同角度对函数的性质与变化进行理解是非常必要的．函数的魅力在于其无穷的变化，含参让函数回归本质，教学的脚步也应该跟上这种变化，这样才能让我们与时俱进，不断提升自我，让学生真正体会到函数的魅力．希望本文可以起到抛砖引玉的作用，为学生解题提供好的思路和方法．