广东省东莞市东莞高级中学

高中数学新课程标准特别强调培养学生的六大核心素养(即数学抽象能力、逻辑推理能力、数学建模能力、直观想象能力、数学运算能力、数据分析能力).课堂是培养核心素养的主要阵地,问题是课堂的重要教学形式,合理有效的设问会大大提升课堂的效率,提高学生解决问题的能力,促进思维的发展,激发学习的兴趣.那么,如何合理有效的设计数学问题呢? 本文以“直线的点斜式方程”一课为例,就高中数学课堂“设问”策略,浅谈自己的一些思考,望能起到抛砖引玉的效果.

1 导向设问,达成目标

目标是教学的起点和归宿,是课堂教学设计的基本依据.课堂的设问应以目标为导向,问题的设计应围绕目标来进行和展开.导向设问即从教学的内容出发,紧扣教学目标,强化教学重点,突破教学难点,有方向性的设计问题,引领学生,达成目标.在推导直线的点斜式方程时,我做了如下问题串设计:

问题1(1)过已知点A(-1,3)的直线有多少条? (2)斜率为-2的直线有多少条? (3)过已知点A(-1,3),且斜率为-2的直线有多少条?

设问意图让学生了解确定一条直线所需要的条件,定性的把握直线的情况.

问题2在平面直角坐标系中作出该直线,问:这条直线还经过哪些点? 试找出五个点?

设问意图因斜率为-2的直线所对的倾斜角不是特殊角,无法通过角度准确作出直线,以此引导学生再找一点,由两点来作出该直线的图象,从而训练学生的数学运算和数据分析能力.再借助图象,学生可以凭直观感觉找出五个点,或也可借助斜率公式求出五个点,以此训练学生的直观想象能力和逻辑推理能力.

问题3这些点有何共同特征? 我们能否用一个等式来反映这些点满足的关系?

设问意图参照作图找另一点过程,通过小组讨论,归纳出这些点都在斜率为-2的直线上,再将点一般化,借助斜率公式,建立起任意点的坐标之间的关系,得到满足条件的一般等式.通过设问,让学生体会由特殊到一般的解题思想.

问题4这个等式关系是否可以刻画出这条直线上所有的点?为什么?

设问意图引出用方程表示直线所需满足的条件,并让学生总结由直线建立方程的一般步骤.

问题5若直线l 经过点P0(x0,y0),斜率为k,则直线l的方程形式如何?

设问意图在参照问题1(3)求直线方程的思路下,让学生触类旁通的推导出直线点斜式方程的一般形式,再次强化由特殊到一般的解题思路.

导向设问,要求教师既要从整体上把握教材设计意图,深耕教材,挖掘本质,准确领会问题所蕴含的思想,又要深度研习课程标准,深刻理解课程标准要求,明确问题与教材的关系,并能找到问题与学生学习心理、习惯的联系.同时,教师还要能准确把握目标,清楚不同的教学目标的作用和要求,明确其与学生发展的关系,以使问题具有更强的导向性.问题设计完成后,要与问题进行对话,不断进行斟酌、修改、校正,直至问题有明确的导向性.实践证明,问题的导向性越明确,学生的求知欲望就越高,教学目标达成度就越好.

2 适切设问,关注能力

适切设问是指问题的设计要切合学生学习的实际情况,以学生已掌握的知识为依据,以学生的思维水平和探究能力为依托来设计问题.问题既要有一定的难度,又要让学生通过努力能够被解决,问题设计既要关注学生目前的能力水平,又要让当前的能力得到发展和提升.

在得出直线的点斜式方程后,为加深学生对方程形式的认识和和理解,我设计了如下问题串:

问题6为什么将方程y-y1= k(x-x1)定义为直线的点斜式方程?

问题7过平面内某一点的所有直线是否都能用点斜式方程表示?点斜式方程的适用条件是什么?

问题8若直线的斜率不存在,该直线方程形式如何?

问题9x轴和y轴所在的直线方程形式是怎样的? 这两个方程是否是直线的点斜式方程?

问题10若直线l 经过点P0(x0,y0),斜率为k,则直线l的方程形式如何?

问题11直线l的斜截式方程和一次函数有何异同?

设问解析已推得的点斜式方程形式是学生认识的起点和基础,但由于又是新知,学生对方程形式记忆不清,感受不深,问题6的设计引导学生观察出“点”和“斜”两个独立的条件,有助于加深对方程形式的认识和记忆,问题设计符合学生认知需求,也不难解决.问题7、8是对点斜式方程形式的深度理解,有一定的难度,困难在于学生能否想到直线的斜率不存在这一特殊情况,能否正确写出斜率不存在时的直线方程,但之前在学习直线的倾斜角和斜率时已探讨过斜率不存在的情况,在这一基础下,通过小组讨论的形式,学生不难解决这个问题,这一问题的解决,又为设点斜式方程需要考虑斜率存在和不存在两种情况的学习作好铺垫,从而可进一步提升学生全面思考问题的能力.问题9是对问题6、8的巩固认识,学生可以自行解决.问题7 至9的设计从斜率的角度来对方程的形式作了加深认识,问题10 则从点的特殊性来对方程的形式作了拓展认识,并进一步引出问题11,引导学生对比辨析初中的一次函数,使得初高知识前后映衬,让学习融会贯通,既有助于知识的自然形成,又有利于能力的自然发展.

学生是探究解决问题的主体,问题设计太难,学生无法开展探究,问题无法得到解决,能力无法得到发展.问题设计过易,学生缺少思维活动,思维活力不能被激发,能力无法得到提升.所以,问题的设计要有适切性,即在设计问题时,老师必须充分了解学生的起点状态,准确把握学生的学习需求,在学生的“最近发展区”设计问题,才能真正的发展学生的能力.

3 层递设问,发展思维

层递设问是根据学生渐进式的认知规律,由浅入深、由易到难、逐层递进的设计问题.在处理教学中的一些难点问题时,我们可以通过层递设问的方式,设计具有一定内在逻辑联系和一定层次关系的问题,以“问题串”的形式,引导学生通过自主、合作和探究的方式逐步解决问题,引领学生进行系列的、连续的思维活动逐步提升思维.

在推导出直线的点斜式方程后,学生对直线的方程这一概念认识其实还是模糊不清的,为什么能用方程表示直线呢? 用方程表示直线要满足怎样的条件? 这就涉及到曲线与方程概念的本质问题,这一问题既是本节课的教学难点之一,也是以后所学曲线与方程的难点之一.为解决这个问题,让学生更好的理解直线与方程的关系,当学生求得问题1(3)的直线方程为后,我在课堂上设计了如下追问:

追问1 直线上的所有点都满足上述方程吗? 通过观察,学生发现:点A(-1,3)不满足.

追问2 上述方程能否表示该直线,为什么?

通过小组讨论,学生得出结论:不能表示,因为直线上的点A(-1,3)不是上述方程的解.

追问3 如何处理上述方程,才能使所得方程表示该直线?为什么? 通过合作探究,学生得出结论:方程y-3 = -2[x-(-1)]可表示该直线的方程,因为A(-1,3)此时也满足这个方程.即方程y -3 = -2[x-(-1)]的所有解构成的点都在直线l 上,且直线l 上的任意一点的坐标(x,y)都是方程y-3=-2[x-(-1)]的解.

追问4 上述两个方程的区别在哪里?

追问5 用方程刻画直线需满足的条件是什么?

通过自由讨论,学生形成结论:方程的所有解构成的点都在直线上,且直线上的任意一点的坐标(x,y)都是方程的解.

追问6 用方程刻画直线的实质是什么?

通过师生共同辨析,形成结论:直线上的点可用数的形式来反映,即数形结合思想.直线上的点的坐标和方程的解之间建立起一个一一对应关系,它们是同一问题两种不同的反映形式,一个是图形特征,一个是代数关系.

层递设问不仅要考虑问题之间的逻辑关系,还要考虑学生思维发展的特点,问题的层次性要求设问是逐渐的向着突破难点的方向进行,问题的递进性要求设问难度跨度适合学生的能力水平.合理精准的层递设问,切合学生的认知规律和思维发展特点,既能循序渐进的引导学生思维的发展,又能逐步加深学生对数学本质的认识.

4 探究设问,激发兴趣

探究设问是指问题的设计要有探究性,设问能够激发学生的探究热情,能够引领学生进行自主探索,通过小组讨论,学生能够发现一般性的规律和结论.在熟识直线的点斜式方程后,为进一步了解方程中的“点”和“斜”两个独立的条件对直线的影响,并导出平行直线系方程和共点直线系方程,我作了如下探究设计:

探究1 在同一平面直角坐标系中作出直线y = 2x,y =2x+1,y = 2x-1,y = 2x+2,y = 2x-2,这些方程表示的直线有什么共同特点? 你能用一个方程表示它们吗?

探究2 在同一平面直角坐标系中作出直线y = 2,y =x+2,y = -x+2,y = 3x+2,y = -3x+2,这些方程表示的直线有什么共同特点? 你能用一个方程表示它们吗?

探究3从以上的两个探究中,你可以得出怎样的一般性结论?

探究反馈探究1中,学生通过作图观察,主要形成两个结论,一是五条直线都平行,二是相邻两平行直线间的距离都相等,探究2中,也主要形成两个结论:一是五条直线都过点(0,2),二是直线y = x+2和y = -x+2 垂直.老师对探究1、2中的两个结论一继续进行引导探究,学生经讨论得出平行直线系方程y = 2x+b和共点直线系方程y = k+2,同时对两个结论二进行设问:如何求两平行直线间的距离? (为后续学习做铺垫)如何证明两条直线垂直? (引导学生运用上节知识k1·k2= -1 解决问题).探究3的开放性比较强,老师作好具体指引:对方程y-y1= k(x-x1)进行讨论,学生得出结论:若只有k 确定,则该方程表示一系列平行的直线,若只有点(x1,y1)确定,则该方程表示过点(x1,y1)的一系列直线(直线x = x1除外),若k和点(x1,y1)都确定,则该方程表示的直线唯一确定.通过这一探究设问,引导学生开展探究活动,进一步加深了对直线点斜式方程的理解,既训练了学生思维,又激发了学习兴趣.

探究设问要求设计的问题兼具开放性和指向性,开放性照顾到全体学生的学习感受,让不同层次的学生通过探究活动发现不同结论,收获不同学习体验,有助于调动学生的学习积极性,有益于激发学生的探究欲望,也有利于学生发散思维的培养,指向性促使探究过程紧紧围绕课堂教学目标展开,引领学生向着达成目标而开展探究活动,最终促使教学目标圆满完成.

5 结束语

《学记》有云:“善问者如撞钟,叩之以小者则小鸣,叩之以大者则大鸣;待其以容,然后尽其声”.问题是数学课堂的重要形式,设问也是一门艺术,考验着教师的功底和能力.从导向性、适切性、层递性和探究性四个维度出发,合理有效的进行课堂设问,对达成教学目标,培养学生思维,发展学生能力,提升学习兴趣,有着十分重要的实际意义.