广东省广州市玉岩中学

提高高三数学复习课的实效性,关键在于提高中偏下水平学生的学习实效,让他们在学习过程中主动构建知识、发展能力、获取直接经验和间接经验是必经之路,尤其是解决综合性较强的数学问题.教学中,笔者采取“复杂问题步骤化;困难问题模型化”的教学策略,让学生感悟模型思想,积累解决实际问题的经验,取得了一定的效果.现笔者以高三第一轮复习“圆锥曲线的综合问题”课例的设计与实施为例,谈谈自己的一些思考.

1 教学实录

1.1 考情分析,全局把握

教师:高考对圆锥曲线知识的考查,主要集中在中高档综合性问题,有一定难度.本节课,我们以一道高考真题为例,结合本知识点的高考命题规律,来探究一下它的基本解答策略.(屏幕投影“表1:命题规律表”、学习目标)

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学习目标1.掌握直线与圆锥曲线综合问题的解题思维模式;2.了解常见条件转化模型的处理策略,提高处理解析几何综合问题的能力.

活动设计及意图预留1分钟时间,让学生了解、梳理本专题内容,让学生在系统性、高视角的维度总览全局,熟纲务本,点对点,明确本节课复习知识要点以及学习任务.

1.2 真题探究 规律初探(2014年高考全国Ⅰ卷第20题满分12分)

投影题目已知点A(0,2),椭圆b ＞0)的离心率为F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为为坐标原点.

(1)求E的方程;

(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当ΔOPQ的面积最大时,求l的方程.

图1 解答过程示意图

教师:请同学们2分钟之内自己独立完成第一问.

活动设计及意图学生力所能及的,交给学生独立解答,教师巡视,2分钟后,教师将巡视过程中用手机拍摄的学生解答过程,直接传屏电教平台,投影答案:落实课堂教学“讲在关键处,练在讲之前”.

1.2.1 解题模型的回顾与构建过程

教师:第1问一般是容易题,我们高考答题时务必拿下,刚才大多数同学都完成的很好.现在请同学们思考第2问:回答我接下来的几个问题.(学生2分钟的读题、审题、思考时间)

教师:问题1:我们结合题意作出图形(如“图1解答程示意图”),不难发现这是“直线+圆锥曲线型”(即:直线与圆锥曲线相交类的问题),还记得这种问题的常规处理“套路”吗?

学生1:解题思维过程分三大环节

环节一:准备工作(设—-联—-消—-韦达定理);

环节二:翻译转化(转化问题,转化条件,把题目翻译成我们熟悉的数学知识);

环节三:数学运算(算出结果).

教师:很好,同学们都已经熟悉基本的思维流程!复杂问题步骤化、困难问题套路化,解题经验的积累会帮助我们顺利切入每一个数学难题.大家能否就每个环节的具体步骤及注意事项做一个分享?

学生:(故有的解题经验,同学们基本能顺利分享)

教师:(投影“图2‘直线+圆锥曲线型’思维导图”,配合学生的分享,逐步展示各个环节步骤和注意事项)

本节课我们将重点在“环节2”——“转译”的策略方面去总结常规转化模型,积累转化技巧和经验;在“环节3”—-“计算”方面积累计算技巧和经验.

问题2:现在,同学们能自己独立完成“环节1”中的常规“动作”(设,联,消)吗?

(3分钟时间.学生独立完成,教师巡视,提醒注意事项,如:直线的设法—-正设与反设,斜率不存在的情况,消元、计算的基本策略等)

图2 “直线+圆锥曲线型”思维导图

教师:同学们“环节1”完成得不错,我们来分享一下这个过程.(投影学生过程,如下)

解 (2)当l⊥x轴时,不合题意.故设l:y = kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).联立方程消去y 得:(1+4k2)x2-16kx+12=0 由韦达定理

活动设计及意图综合问题、复杂问题的处理,需要建立在丰富的解题经验的基础上.本活动,旨在引导学生进一步熟悉“直线+圆锥曲线型”数学模型,为后续解题提供思维与行动的方向,按图索骥.另外,有意识地采用“复杂问题步骤化、困难问题套路化”的解题策略,让学生独立完成“环节1”中的常规“动作”(设,联,消),为后续师生共同重点探究“环节2”中“转译”的策略和“环节3”中“计算”技巧,作铺垫.同时分解难点,突出重点,小步子前进,让学生最大限度深入解题过程.

1.2.2 模型思想指导下的思维活动的深入与发散过程

教师:我们来看“环节2”——“转译”.我们知道,在此环节,我们应该从题目条件和问题两个方面去转化翻译.问题3:本题中,你能够转化翻译那些条件或者问题? 请大家先独立思考、探究,然后小组分享3分钟.(学生思考、探究5分钟,个体分享,小组合作分享)

学生2:ΔOPQ的面积,这句话,应该表示出面积的解析式.

教师:怎样表示ΔOPQ面积呢?

学生4:我觉得用可以用分割法.可以将直线PQ 与x轴的交点M的坐标表示出来,然后

学生5:根据“学生4”的想法,我觉得还可以采用先补成一个直角梯形—-分别过P,Q作y轴垂线形成一个直角梯形,然后再减去两个直角三角形面积即可.

教师:非常好!大家肯动脑筋.面积的表示确实方法很多,刚才大家的思路我觉得都很棒!我们的视野更开阔了!但是哪一种更好呢? 我们不妨逐个试试.我们不妨按照“学生6”的方法.

问题4:有哪些需要进一步转化? 如何转化?

学生7:用弦长公式可求

用点到直线的距离公式即可求点O到直线PQ的距离所以,

教师:很好!至于上述其他方法,暂时留给同学们课后研究.我非常期待大家的研究成果!本环节已经全部翻译完毕,现在进入“环节3”.

问题5:根据题目问题目标,接下来应该干什么?

学生8:我们应该求此式的最大值.

学生10:此式有根号,求导会很复杂,我根据此式特点,觉得换元再来算可能会简单一点.

教师:大家同意吗? (全体同学一致认为很有道理)刚才两位同学说的都非常到位.从题目的问题来看,我们不难发现,这是高考命题热点之一的“圆锥曲线求最值问题”,对于这类问题,我们处理的基本策略是目标函数法,即:首先,建立目标函数(求谁的最值,就建立谁的目标函数),如然后,求函数最值.

图3 解答过程得分点

但是,这里面需要积累一个很重要的解题经验和技巧:对于含有根号的,一般是采用换元法,换根号,在运用函数的方法,如求导等求最值.大家可动手试试.

教师:在换元后,大多数同学,还是考虑利用导数求最值.有没有不求导就可求最值的呢?

学生11:因为当且仅当t= 2,即时,等号成立,且满足Δ＞0.综上:所求直线方程为或

活动设计及意图通过思维导图模型的引领,将思维程序化,解题目标清晰,思维不断纵深推进.探究难点处,教师点拨释疑.探究每一个分解的难点,引导学生进一步熟悉直线与圆锥曲线的综合问题(一般步骤)——“三个环节,步步为赢”的解题策略,并从中积累丰富的解题经验和技巧.掌握直线与圆锥曲线综合问题的解题思维模式.

教师:如何求其最大值?

1.3 真题剖析 规律提炼

教师:通过此题,我们看看高考的重点和方向.本题考查了哪些知识点,我们又有哪些解题的收获呢? (教师引导,学生回答,教师补充,归纳)

考点1 数学核心素养(数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析);

考点2 圆锥曲线(椭圆)的标准方程的求法;

考点3 圆锥曲线(椭圆)的简单几何性质(离心率、弦长公式等);

考点4 直线与圆锥曲线的位置关系(一般步骤)——“三个环节,步步为赢”的解题策略.

通过本题的探究,我们发现:面对综合复杂问题,只要我们步步为营、每分必争,其实我们也是可以大比例得分的.那么此题,按照高考评分标准,我们会“踩点得分”多少呢? (投影“图3解答过程得分点”).

活动设计及意图高三第一轮复习,有意识强化学生的答题规范性,让学生明白得分点,掌握踩点得分的技巧.同时,进一步梳理学生在探究活动中积累的解题经验和技巧.

1.4 变式迁移 体验感悟

教师:现在,请大家尝试处理下列问题.(投影展示变式1、2、3、4)

变式1如图4,原例中,设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当以PQ为直径的圆经过原点时,求l的方程.若原点O位于以PQ为直径的圆外时呢? (2018年沈阳市高三质检第20题改编题)

图4 变式1

图5 变式2

变式2如图5,原例中设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,记C(0,1),当||CP|=|CQ|时,求l的方程.

图6 变式3

图7 变式4

变式3如图6,原例题中,设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,记M(4,0),当∠OMP= ∠OMQ时,求直线l的方程.(2018年高考全国Ⅰ卷第19题改编)

变式4如图7(拓展延伸)原例题中,设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,是否存在直线l满足若存在,求出直线求l的方程;若不存在,说明理由.

教师:这些问题与原例题解答过程有什么异同吗?

学生:解题环节1 相同,可以直接借用原例题相关步骤(设,联,消,韦达定理);不同的是,环节2 与环节3.

教师:那好,下面请大家直接分享每一个变式解题过程中的“环节2”?

学生:(思考,小组分享)

学生12:变式1中,得到“以弦PQ为直径的圆过点O”⇔OP⊥OQ ⇔kOP · kOQ=-1 (需讨论k是否存 在)再 用 韦 达

学生13:变式2中,取弦PQ的中点M,则由题意可得然后坐标化,再用韦达定理.

学生14:变式3中,由题意可得kMP+kMQ=0,然后坐标化,再用韦达定理.

······

教师:分享都很精彩!上面转化的角度都是常规视角,有很好的积累价值.其实,大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路.当然,上述问题的转化翻译有不同角度,请大家课外思考:是否还有其它转化角度,并尝试分别完成每题解答过程中“环节3”.

活动设计及意图重点训练学生的化归思想,将“条件转化”常见模型及其处理策略加以探究,为学生积累解题经验.

1.5 课堂总结 提炼内化 (略)

2 教学说明及反思

2.1 基于数学模型思想高三复习课的教学活动设计思路

遵循数学复习课重复性、概括性、系统性、综合性与反思性的显著特点,理解学生复习数学的认知心理,把握数学知识的内在结构,是设计并构建高效数学复习课堂的必经之路.

本节课面对的学生群体,属于中偏下水平,对于圆锥曲线综合性问题:知识上,基本掌握了单一知识点,缺乏综合灵活运用能力;计算能力上,基本功不扎实,技巧不熟,对算理难度较大的缺乏运算经验;思维上,不会寻找切入点,不熟练转化化归,思维缺乏条理性;心理上,对综合问题回避、放弃、有畏难情绪,缺乏挑战精神.但学生乐学,对圆锥曲线综合问题有一定的认知基础,尤其基本解题步骤有一定的了解.

鉴于此,本节课的处理策略为“复杂问题步骤化;困难问题模型化”,将知识难点和思维难点分解,利用模型思想,小步快走.在“真题探究,规律初探”环节,展示思维导图,引导学生回顾模型,帮助中偏下学生构建处理综合问题的思维程序;利用5个问题系列,师生互动,引导学生寻求切入点,探求解决问题的方案,完成“解题模型的回顾与构建过程”和“模型思想指导下的思维活动的深入与发散过程”.在“真题剖析,规律提炼”环节,强化数学模型思想的提炼.在“变式探究体验感悟”中,强化模型的应用,侧重思维的训练和提升.整个过程,不断强化“回顾模型,建立模型,应用模型”;以模型为指南引领思维方向;以问题为动力,推动思维向深度和广度发展.

综合上述要求,本节课的设计思路为(图8):

图8 设计思路

2.2 基于数学模型思想高三复习课的几点思考

模型的建立是基于基本活动经验,所以要对经常对活动反思和提炼,但模型解题是一把双刃剑,要辩证施教,防止题型化固化学生思维.

首先,要重视让学生经历教学活动的反思过程,特别是对活动过程中条件、步骤、方法等的反思,然后在此基础上提炼数学模型,并积累基本活动经验.因为,数学的“基本活动经验”包括直接经验(自我摸索)和间接经验(依据或模仿),单纯的讲授与模仿不能帮助学生形成真正有效的基本活动经验,有效经验一定是在自主活动过程中(包括总结反思)才能够获得的.所以,一次数学活动结束之后的总结提升环节对于基本活动经验的形成非常必要.

其次,数学数学模型思想下的高三复习课要重视建模过程的思维训练.数学建模的教学本质也是思维教学,模型思想教学渗透着让学生学会联系、类比、归纳和概括等逻辑思考的基本方法.让近阶段学习中积累的经验激活学生的最近发展区,建立新的相关数学模型.新模型的建立在关联的旧模型的帮衬下,再加上教师适当引导,学生参与新模型的揭示与形成,学生选择模型的能力才会得到得到充分磨练.“型”成于思,经受住波折或挑战的建模过程更能让模型思想深入骨髓.

最后,辩证施教是预防模型思想渗透走偏的保障.防僵化的题型套用,在数学知识的生成和运用过程中,有必要进行适当的归纳和概括,这有利于学生发现基本规律,获取本质特征,但又不能过分追求模型的精细化,这会让学生迷失在形式化的结构中.解决问题教学,应该强调对实际问题数量关系的分析,突出解决问题的策略,而不宜过度以题型精细化分类,去让学生识记数学题型的各自特征,否则一旦学生遇到无题型可套的问题时便会束手无策,阵脚大乱.

总之,利用模型思想设计复习课,可以帮助学生深入积累活动经验,提高复习实效.但模型的教学渗透不能被过度程式化、技术化和功利化,应该根据学生的年龄特征与知识积累逐级递进,教师充分分析、辩证施教,模型思想才可以真正提高教学实效,解题活动经验才可以在学生的大脑中慢慢积淀和浸润！