马立华 刘文琰

【摘要】函数极值问题是一个常见的研究函数形态的问题，对于函数形态我们进一步介绍奇点理论，从一元函数、二元函数、多元函数分类介绍，实现从微积分到专业方向的过渡，并举例表示奇点理论对于研究更精细的函数形态的重要性.

【关键词】函数;极值;奇点

对于函数极值点的判断，学生要有广泛的几何、代数、分析的基础.若要研究函数进一步的形态，我们只判断出函数的极值点显然是不够的，而奇点理论极大地推广了函数在极大值点和极小值点的性质研究.本文从函数极值点判断到奇点类型识别做一初探.文中的函数均为无限次可微的，即光滑函数.

一、一元函数y=f（x），x∈R的极值理论和奇点理论

一元函数y=f（x），x∈R的极值的定义、极值的必要条件、极值的第一充分条件和极值的第二充分条件见参考文献[1].

定理1（极值的第三充分条件）设y=f（x）在x0的某一邻域内存在直到（n-1）阶导函数，在x0处n阶可导，且f（k）（x0）=0（k=1，2，…，n-1），但f（n）（x0）≠0，则：（1）当n为偶数时，函数y=f（x）在点x0取得极值，且当f（k）（x0）<0时，取极大值;f（k）（x0）>0时，取极小值.

（2）当n为奇数时，函数y=f（x）在点x0不取得极值.

定义2（奇点）极值y′=f′（x）=0的点为奇点，否则称为正则点.

在上述定理的（极值的第三充分条件）中，x0为y=f（x）的Ak型奇点.

定理3设f：（R，0）→R是一个光滑函数，若0是y=f（x）的Ak型奇点，则一定存在一个微分同胚映射φ：（R，0）→（R，0），使得f°φ=±xk+1+f（0）.该定理表明，具有Ak型起点的函数y=f（x）都与±xk+1+f（0）在0点邻近奇异性相同.

例1y=x2，y′=2x，y″=2，y″|（0，0）≠0，（0，0）是极小值点，为非退化的临界点，是稳定的孤立的奇点，是折叠型A2奇点，如图1.

例2y=x3，y′=3x2，y″=6x，y″|（0，0）=0，（0，0）不是极值点，为退化的临界点，是非稳定的孤立的奇点，是拐點，是尖点型A3奇点，如图2.

二、二元函数z=f（x，y）的极值理论和奇点理论

二元函数z=f（x，y）的极值定义以及必要条件见参考文献[1].

定理4（充分条件）二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处具有二阶连续偏导数，且fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0（即（x0，y0）是z=f（x，y）的临界点），矩阵H为函数z=f（x，y）在（x0，y0）的二阶偏导数构成了Hessian矩阵H=2fx22fxy2fyx2fy2，

则：（1）当H正定时，（x0，y0）是f（x，y）的极小值点;

（2）当H负定时，（x0，y0）是f（x，y）的极大值点;

（3）当H不定时，（x0，y0）不是f（x，y）的极值点.

该定理在应用时，常将矩阵的正定性用霍尔维茨（Hurwitz）定理转化为判断矩阵对应的顺序主子式的符号，见参考文献[1].

定义6（二元函数奇点）满足fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0的点（x0，y0）称为f（x，y）的奇点.

由于二元函数的图像（x，y，f（x，y））为空间一曲面，因此奇点类型比较复杂.如果三维欧式空间R3中一曲面为波阵面的波前面，由V.I.Arnold和Zakaliuc给出通常的奇点有尖楞（cuspidaledges）和燕尾（swallowtail）两种类型.

定义7A—等价又称R—L等价，即是一种映射的等价类映射芽f：（R2，0）→（R2，0），存在微分同胚φ及ψ，使得φ°f=f°ψ成立.例如已有事实如下.

（1）（0，0）为f（x，y）尖楞奇点，如图3，A—等价：（x，y）→（x，y2，y3）;

（2）（0，0）为f（x，y）燕尾奇点，如图4，A—等价：（x，y）→（x，3y4+xy3，4y3+2xy）.

二、多元函数z=fx1，x2，…，xn的极值理论和奇点理论

定义8设n元函数z=f（x1，x2，…，xn）在点（x01，x02，…，x0n）的某个邻域内有定义，如果对该邻域内任一异于（x01，x02，…，x0n）的点（x1，x2，…，xn）都有f（x1，x2，…，xn）f（x01，x02，…，x0n）），则称函数f（x1，x2，…，xn）在点（x01，x02，…，x0n）有极大值（或极小值）.

定理9（必要条件）若f：ΩRm→R在Ω中为光滑函数，x0=（x01，x02，…，x0n）是Ω中的内点，则f以x0为极小（极大）值点的必要条件是：

（1）gradf（x0）=fx1，fx2，…，fxn（x0）=0或者（df）（x0）=0;

（2）H（x0）=2fx21…2fx1xn……2fxnx1…2fx2n（x0）或（d2f）（x0）为正半定或负半定.

定理10（充分条件）若f：ΩRm→R在Ω中为光滑函数，x0是f之内点，则f以x0为极小（极大）值点的充分条件是：

（1）（df）（x0）=0;

（2）（d2f）（x0）为正定（负定）.

定义11（多元函数奇点）梯度gradf（x0）=fx1，fx2，…，fxn（x0）=0或（df）（x0）=0的点x0为z=f（x1，x2，…，xn）的奇点或临界点，否则称点x0为f（x1，x2，…，xn）的正则点.

定义12如果（df）（x0）=0，（d2f）（x0）≠0，那么称点x0是退化奇点，否则称x0是非退化奇点，易知非退化奇点一定是函数的极值点，反之不一定.

定理13（莫尔斯引理）设f：ΩRm→R为一光滑函数，若0是f的非退化临界点，则存在0的一个充分小邻域存在一个局部坐标变换y=（y1，y2，…，yn），满足yi（0）=0（i=1，2，…，n），而且f有莫尔斯标准形式（或莫尔斯的n-λ级鞍），

f（x）=f[x（y）]=f（0）+∑λi=1y2i-∑n-λj=1y2j，其中式中负项个数n-λ称为非退化奇点的指数，是拓扑不变量.

（1）λ=0，函数f在点0取极大值;

（2）λ=n，函数f在点0取极小值;

（3）0

例如，1955年，由H.Whitney给出（R2，0）→（R2，0）的点类型只有三种，稳定奇点只有两种，即y1=x1，y2=x2（正则点），y1=x21，y2=x2（折叠点fold），y1=x31+x1x2，y2=x2（尖点cusp）.

已有事实，对于映射芽f：（U，p）→（R2，0），其中UR2，f在P点A—等价于：

（1）fold奇点（标准型为f（x1，x2）→（x1，x22））充分必要条件为ηλ（P）=0;

（2）cusp奇点（标准型为f（x1，x2）→（x1，x32+x1x2））充分必要条件为P点是非退化奇点，且ηλ（P）=0，ηηλ（P）≠0;

（3）lips奇點，如图5（标准型为f（x1，x2）→（x1，x32+x21x2））充分必要条件为P点是corankf=1，dλ（P）=0，det（Hessλ（P）>0）;

（4）beaks奇点，如图6（标准型为f（x1，x2）→（x1，x32-x21x2））充分必要条件为P点是corankf=1，dλ（P）=0，det（Hessλ（P）<0），且ηηλ（P）≠0;

（5）swallowtail奇点（标准型为f（x1，x2）→（x1，x42+x1x2））充分必要条件为dλ（P）=0，ηλ（P）=ηηλ（P）=0，ηηηλ（P）≠0.

上面ηλ为方向导数Dηλ，函数λ：（u，u1，u2）→R，Hessλ（P）=2λuiuji，j=1，2，行列式的计算为det，余维数为corank.

定理14（本文结论）对于映射芽f：（U，p）→（R2，0），其中UR2，f在P点A—等价于115奇点（标准型为f（x1，x2）→（x1，x1x22+x42+x52））充分必要条件为corankf=1，Hessλ（P）<0，dλ（P）=0，ηλ（P）=ηηλ（P）=0，ηηηλ（P）≠0.

证明类似于文献中定理2.3，略.

奇点的分类和识别一直是奇点理论重要而没有解决的问题，文中的例子只是在某种等价意义下，在突变理论规范中，在经济学、物理光学、生态学等领域中有一定应用的情形.

【参考文献】

[1]同济大学数学教研室.高等数学（上册）第五版[M]，上海：同济大学出版社，2003.

[2]梅向明，黄敬之.微分几何[M]，北京：高等教育出版社，2008.

[3]Bruce.JW，GiblinPJ.CuvesandSingularities[M]，CambridgeUniversityPress，Cambridge，UK，1992

[4]RichardL.Bishop，Thereismorethanonewaytoframeacurve，theAmericanmathematicalmonthly[J]，1975，246-251

[5]KentaroSaji，Criteriaforsingularitiesofsmoothmapsfromtheplaneintotheplaneandtheirapplications，[J]，2018.