乐俊松

【摘要】计算与数感相互依存、相互促进，计算是数感培养的载体，计算能力的提升受益于良好的数感意识.计算中的理就是数理和算理，口算、笔算的教学应从数理入手，算理提供理论支撑;估算需要算理正方向;四则混合运算需要算理定规则.数感需要在计算过程中逐步培养，数感能进一步提升计算能力，两者相互关联、相互促进，只有在数理和算理的指导和规范下形成的数感意识才经得起推敲，才能有效提升我们的计算效率.

【关键词】计算;算理;数感;依存;促进

语文有语感，音乐有乐感，数学也有数感.语感的培养强调多读，因为“书读百遍，其义自见”;乐感更讲求天赋，五音不全难以形成乐感;数感的培养侧重于“讲理”，因为数学是一门讲道理的学科，数学知识之间相互联系，数学分析、思考、推理都有严密的逻辑性.计算作为小学数学的主要教学内容之一，自然也不能缺少以上屬性.计算与数感相互依存、相互促进，计算是数感培养的载体，计算能力的提升又受益于良好的数感意识.计算中的理就是数理和算理.

小学阶段的数理就是数的组成，如一个数是由哪些计数单位组成的？分别有几个这样的计数单位？算理是指四则运算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，其内涵包括数和运算的意义、运算的规律和性质.算理是说明“为什么这样算”的数学原理，为学生形成可操作化的计算提供了正确可靠的数学依据与思维过程，是学生运算能力形成与提高的有力支撑.

下面，我们从口算、笔算、估算、综合运算等方面谈一谈具体的做法，希望能够为小学数学教师以及相关教育研究人员提供一定的参考.

一、口算、笔算的教学应从数理入手，算理提供理论支撑

首先，教师要让学生明白参与计算的对象（每一个数）的组成，如它是由哪些计数单位组成的？分别有几个这样的计数单位？其次，教师要让学生根据已有的知识经验，在遵从算理的基础上进行尝试、探讨并总结出算法，算法是让学生明白怎么算，而算理是让学生理解为什么要这样算，保证算法的正确性.如果要解决好为什么这样算，就要结合不同运算的意义，教师要先通过形象直观的手段让学生对相应运算形成感知，再通过适当的练习，使学生感悟其中的本质，最终形成算法，然后结合数理特征形成数感，用以支撑后续的学习、工作和生活.例如，在教学人教版三年级下册第2单元“笔算除法”一课时，笔者对教材和教学环节做了一些创新处理，这一教学内容是在学生学习表内除法的基础上展开的，学生有了用乘法口诀进行笔算除法的基础，知道竖式除法中各部分的名称，但仅限于除数是一位数、商也是一位数的情况.教师在课前复习中为学生准备了激趣比赛，第一、二组的题目是35÷7，63÷9，18÷3;第三、四组的题目是32÷7，61÷9，20÷3.为了突出效果，教师让做完的学生站起来为大家加油.实际上完全达到了预期效果，到了1分钟后，第一、二组的学生全部完成，第三、四组的学生仅有两人完成.第三、四组的学生质疑比赛的公平性，教师指导学生依次列竖式计算以上全部题目，并要求全班学生共同列竖式计算32÷7，以此复习竖式除法的书写格式及各部分的名称和意义，为新授“商是两位数的除法”做好铺垫.在新授过程中，笔者始终强调记录除法竖式的方式既要直观，方便观察，又要有道理，满足一般性.笔者把例题改为两人分42元，让学生实际操作平均分的过程，并列竖式把分的过程记录下来.先分4张10元，再分2张1元，记录如下：

先分2张1元，再分4张10元，记录如下：

笔者继续探索十位有余数的除法，他把例题改为两人平均分52元，采用相同的探索过程，用纸币进行分钱的操作.学生同样会给出两种分的过程，先分5张10元，再分2张1元.教师将重点放在和学生一起探讨剩下的一张10元应该怎么分.在教师的引导下，学生得出三种可能的操作办法，第一种是换成两张5元的，每人1张;第二种是换成10张1元的，每人5张;第三种是换成10张1元，再和原来2张1元的合起来分，每人6张.最后，学生得出第三种操作方法是最佳选择，因为它不仅解决了剩余一张10元的问题，而且解决了原来2张1元的问题，方法简洁方便.先分5张10元，再分2张1元，记录如下：

先分2张1元，再分5张10元，用相同的方法进行操作和记录，记录如下：

通过对比，笔者得出笔算除法要从高位除起，因为如果高位有余数，就可以换成下一位的计数单位，再与下一位一起除，以此类推，最终完成除法计算.

二、估算需要算理定方向

根据知识的产生、发展规律以及学生的认知规律，四则混合运算按照加、减、乘、除的顺序编排，在学习相应的口算后，学生都会进行相应的估算学习，加法、减法和乘法的估算都是根据实际需要把相关的数据看成整十、整百或整千数进行相应的运算.从知识的生长点来看，减法估算以加法估算为基础，乘法估算以加、减法估算为基础，学生对估算方法了然于心，看到估算自然先找相关数据的近似数，再按照运算符号口算出结果.学生凭借已有的经验往往会套用原有的估算方法，把被除数看成接近的整十、整百数再除，得到的结果就是要么估算不准确，要么无法估算.例如，当分析233÷8的估算时，学生往往先把233看成230，再除以8，只能商2，因为当商30时，30×8=240，240>230，这时就会出现估算错误的情况，有的学生还会因为230÷8得不到整十数，而得不出估算结果.出现这种问题的原因是学生估算以上除法时，完全依靠经验，而忽略了计算的核心算理.除法计算的重要步骤是试商，试商是根据除数的口诀找到与被除数相对应的这一句，以此为依据得出估算的结果.例如，当估算503÷70时，学生应该根据7的乘法口诀七七四十九，把503看成490，因为490÷7=70，所以503÷7≈70.只有遵循算理所培养形成的数感意识才是有效的数感意识，否则伪数感意识越强，对计算准确性的危害就越大.数感的培养不是一蹴而就的，而是需要经过长期的培养和练习的.为了能够培养学生的数感，数学教师需要在日常教学过程中让学生针对多位数乘两位数、两位数乘一位数、表内乘除法等进行强化练习，以提升学生对数学估算的数感，尤其是特殊数乘积的训练，如25×5，50×8，75×4，125×5等.通过此类练习，学生能够对特殊数建立敏感度.如当看到126时，学生能够联想到126=125+1;当看到97时，学生能够联想到97=100-3.

三、四则混合运算需要算理定规则

四则混合运算是在加、减、乘、除四种单向运算的基础上，通过规则和运算定律来限定运算顺序的综合性计算.俗话说，没有规矩，不成方圆，四则混合运算的规矩就是运算顺序（括号→第二级运算→第一级运算）.运算参与者必须遵从这一相同的运算顺序，在保证单项计算正确的情况下，就能得出相同的答案，即标准答案.在日常教学中，教师经常鼓励学生一题多解，并对多解进行优选.判断一个算法是否可用，要从三个维度考虑：一是多数学生喜不喜欢;二是教师易教、学生易学;三是对后面知识的学习有帮助.最理想的算法是三个方面都具备，随着年级的升高，学生更偏向于算法会对后面知识的学习有帮助.通过对四则混合运算意义的研究，教师发现一些算式具有本质的规律，由此总结出五个运算定律和两个运算性质.这些运算定律和运算性质正好符合以上三个维度.如果根据加法的意义“把两个加数合并成一个加数的运算”可知计算结果只跟两个数合并有关，与两个数出现的先后顺序无关，那么得出加法交换律a+b=b+a.例如，算式35×72+35×28的意义是72个35与28个35合并起来，也就是100个35，具有这一特征的算式都有这一共性，这一共性还具有可逆性，由此得出乘法分配律a×（b+c）=a×b+a×c.运算定律的应用，实际是对运算顺序的优化，由此产生了简便运算，简便运算不是对运算顺序的人为改变，而是对某一类算式的内部特征的优化，由此可见，遵守四则混合运算的规则（运算顺序、运算定律）尤为重要，否则会直接导致运算结果的错误，计算简便与否就无从谈起.以上道理不仅教师要深入理解、清醒认识，更重要的是学生要有清醒的认识.只有这样，学生才会主动审题，找到解决计算题的最优方法.在达到这一要求并结合适当的练习巩固后，学生就在潜移默化中增加了对算式中数、符号特征的把握，快速形成解决策略，进而形成数感意识.考查学生是否掌握了乘法分配律，可以设计这样的选择题，即与613×15-13×15不同类的算式是（）.A.38×25+38×75，B.613-13×15，C.72×18-12×18，D.613×99+613，选择答案为B、D中的一个或同选的学生完全不理解乘法分配律，因为他们只是从数是否相同或相似来选择，没有从乘法分配律的实质进行研究.题干中的算式是乘法分配律的逆运用，我们应该判断四个选项是否满足乘法分配律的逆运用，通过分析发现，只有与题干神似的B项不满足乘法分配律.为了便于学生准确地理解和快速掌握四则混合运算的算理，教师可以采用生活化教学模式.

例如，小A同学去买跳棋和围棋，买5副围棋的价格为75元，买4副跳棋的价格为48元，1副围棋比1副跳棋贵多少元？教师在课堂上问道：“哪名同学可以说一说这道题的数量关系式？”同学们积极踊跃地发言，教师在黑板上板书其数量关系式：围棋的单价-跳棋的单价=1副围棋比1副跳棋贵的钱.教师进一步问道：“同学们是否可以列出这一道题的综合算式？”同学们主动思考和计算，教师可以在同学们计算的过程中进行指导，用恰当的话语帮助同学们确定先算什么，再算什么，围棋的单价不会对跳棋的单价产生影响，先进行各自单价的计算，再进行综合计算.计算过程表现为：

75÷5-48÷4=15-12=3（元）

同时，教师可以提问：“如果只买1副围棋和1副跳棋，一共需要花多少元钱？”计算过程表现为：

75÷5+48÷4=15+12=27（元）

教师让同学们仔细观察计算过程，计算过程中先算除法，再算加、减法和四则混合运算的算理相吻合.生活案例的运用，能够将抽象的知识具象化，如张景中院士所说，推理是抽象的计算，计算是具体的推理，只有学生多根据生活经验和数学知识进行加减、乘除算法练习，才能在生活案例中掌握四则混合运算的顺序.数学教师需要做好正确的引导工作，引导学生通过推理对四则混合运算的算理、规则等进行归纳和总结，对于没有括号的四则混合运算算式，如果只有乘法、除法或只有加法、减法，就按照从左到右的顺序进行计算;如果算式中既有加、减法，又有乘、除法，就需要先进行乘、除法计算，再进行加、减法计算.教师在引导和讲解的过程中需要有耐心，部分学生可能在自己练习的过程中出现计算顺序错误的情况，教师需要及时进行讲解和辨析，重点渗透算理和规则意识，保证所有学生都能够准确、完整地掌握四则混合运算的算理.如果要解答好四则混合运算，那么学生必须对运算定律和运算性质有深刻的理解，认识其结构（也就是字母公式），理解其本质，明确其适用范围.以此判断一道四则混合运算是否满足某一定律、性质，如果满足，就进一步思考下一步怎么算，是否能达到简便的目的.有些计算题可能满足某一定律，但不能使计算简便，因为没有运用运算律的必要.简便运算必须以运算律为依据，只有满足运算律的结构，简便运算才是讲理的，计算才可能正确，否则违反了规则，计算过程再简单，速度再快，也只能得出错误的结果，没有任何价值.

数感需要在计算过程中逐步培养，数感能进一步提升计算能力，两者相互关联、相互促进，只有在数理和算理的指导和规范下形成的数感意识才经得起推敲，才能有效提升学生的计算效率.

【参考文献】

[1]蒋敏杰.小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略[J].中小学教师培训，2016（7）：37-42.

[2]楊亚萍.小学计算教学策略的研究[D].昆明：云南师范大学，2016.