杨帆，赵恒凯

（上海大学通信与信息工程学院，上海 200444）

0 引言

随着人们对通信系统的传输容量以及传输速率的需求不断地增加[1]，通信系统正在向着一个更大的传输容量和更高的传输速率的方向发展，这种现象在未来的通信时代将会更加显著。

为了满足人们对通信系统的传输容量日益增加的需求，携带轨道角动量的涡旋电磁波技术受到关注。涡旋电磁波使用螺旋相位模态作为自由度，由于不同螺旋相位模态的涡旋电磁波彼此之间具有互相正交的性质，且在理论上具有无穷多种彼此之间互相不干扰的正交螺旋相位模态，因此涡旋电磁波可以在同一频点上发射多种不同螺旋相位模态的涡旋电磁波，在不增加通信系统带宽的情况下，提高通信系统的传输容量[2]。2011 年，Fabrizio Tamburini 等人首次验证了涡旋电磁波在无线通信系统中通信的可能性[3]。将携带轨道角动量的涡旋电磁波应用于无线通信系统中，这对于无线通信系统频谱资源日益紧张的今天具有极大的吸引力。

在涡旋电磁波通信中，大气湍流影响是非常重要的因素。大气湍流是自然界非常普遍的流动现象，由大气环境中空气密度的无规则起伏引起。涡旋电磁波通信在自由空间传输中不可避免地受到大气湍流的干扰，导致涡旋电磁波的波前发生畸变，影响传输质量。因此需要对涡旋电磁波经大气湍流传输后产生的畸变相位进行校正。迄今为止，国内外学者提出了多种相位恢复算法，比如经典的GS（Gerchberg-Saxton）算法[4]、杨顾算法[5]、还有近几年提出的WF（Wirtinger Flow）算法[6]。但这些算法在实际计算过程中有一些不足之处：GS 算法需要信号的先验信息且在计算过程中容易出现陷入局部极小值的问题；杨顾算法对初始值敏感，导致恢复出的结果具有不确定性；WF 算法在迭代次数不足的情况下存在着恢复结果不是很理想的问题。鉴于上述算法的缺陷，本文结合需要对涡旋电磁波波前畸变进行校正的需求，提出一种改进的WF 算法。改进的WF 算法不需要信号的先验信息，且具有较快的收敛速度，通过在WF 算法谱初始化的过程中加入约束条件，使其相对于WF 算法有更好的校正效果。

为了验证本文所提出的改进的WF 算法校正涡旋电磁波在大气湍流传输中产生的波前畸变的校正效果，进行了MATLAB 仿真实验，并采用相对均方根误差指标对校正效果进行了定量评估。

1 相位校正方案分析

LG（Laguere-Gaussian，拉盖尔-高斯）波束是一种典型的涡旋电磁波，在自由空间中沿z 方向传输过程中的电场表达式为：

其中，r为波束的辐射半径；φ为方位角；l为涡旋电磁波的模态数；z为传输距离；为束腰半径；p为涡旋电磁波的径向指数；k为波数；为归一化的拉盖尔多项式。

涡旋电磁波通信波前畸变校正的系统框架如图1 所示：

图1 相位校正系统框架

在发送端采用LG 波束作为初始涡旋电磁波，经大气湍流中传输后，其相位会发生畸变，即式（1）中的φ将变为φ'，可以表示为：

其中，Δφ为大气湍流对LG 波束相位的影响值。为了对抗大气湍流对涡旋电磁波通信的干扰，在对涡旋电磁波解调接收之前先利用改进的WF 相位校正算法计算出大气湍流对涡旋电磁波相位的干扰值φ，然后利用φ对畸变相位φ'进行校正，得到校正之后的相位φ''，可以表示为：

由于计算出的干扰值φ与大气湍流对涡旋电磁波的真实干扰值Δφ存在一定的误差，因此校正之后的φ'' 与初始相位φ仍然存在一定范围内的误差，这样就在接收端就得到了校正之后的涡旋电磁波。

2 改进的WF相位校正算法分析

WF 算法是2015 年由Candès 等学者提出来的相位恢复算法，该算法主要由两部分构成：第一部分称为初始估计，是通过谱方法计算出一个比较接近实际值的初始估计值x0；第二部分称为梯度迭代，是通过将第一部分得出的初始估计值x0作为迭代的初始值，然后根据迭代算法来不断更新x0，使其渐渐逼近真实值。然而，WF 算法存在着在迭代过程中如果迭代次数不足的情况下会导致恢复结果不是很理想的问题，本文在WF 算法的基础上提出一种改进的WF 相位恢复算法，改进的思想是结合涡旋电磁波经大气湍流传输后的特性，对原来的WF 算法的第一部分进行了优化，优化的方法是通过在原来的WF 算法的第一部分求解时引入了约束规则，即只有满足约束规则的测量值才参与计算，其基本流程如下：

（1）求式(4)的最大特征值对应的特征向量x：

其中，yi为测量值，ai为采样向量，通过对比多组涡旋电磁波的畸变相位值和初始相位值，发现畸变相位的大部分相位值与初始相位值发生了很大偏差，因此设置参数al和ak，对测量值进行了适当范围的缩小，并且在计算λ0中的时为了防止涡旋电磁波经大气湍流传输后产生了变化很大的畸变值对结果造成的影响，将其减去最大值和最小值后再进行计算求和。为约束规则，即测量值需要满足的约束规则。初始值x0通过λ0x可以得到。

（2）利用（1）中得到的初始值x0作为迭代更新的初始值，迭代规则如式(5)所示：

其中，μt+1是迭代步长，t是迭代次数。将（1）中得到的初始值x0经过（2）的迭代更新，最终可以得到一个比较接近真实值的结果x。

3 实验仿真与误差分析

为了模拟涡旋电磁波经大气湍流传输后产生的畸变相位，以及使用相位校正算法对畸变相位进行校正后的恢复相位，利用MATLAB 软件进行了大气湍流随机相位屏[7]和使用相位校正算法对涡旋电磁波波前畸变进行校正的模拟实验。实验选取的参数如下：传输距离z=1 000 m，涡旋电磁波的本征值l=2，工作频率f=26 GHz，相位屏的尺寸为1 m，大气湍流外尺度L0=50 m，大气湍流内尺度l0=1 mm，大气折射率结构常数

3.1 实验仿真结果

图2（a）是l=2 的涡旋电磁波的初始相位分布图，图2（b）是涡旋电磁波受大气湍流影响后的畸变相位分布图，图2（c）是使用WF 算法对畸变相位校正后的恢复相位分布图，图2（d）是使用改进的WF 算法对畸变相位校正后的恢复相位分布图。从图中可以看出，由于大气湍流的影响，图2（b）所示的畸变相位分布相对于图2（a）所示的初始相位分布存在很大差异。根据MATLAB 的模拟实验结果，图2（c）所示的恢复相位分布数值整体上相对于图2（b）所示的畸变相位分布数值有了明显的恢复效果，使其相位分布数值接近于初始相位分布数值。图2（d）所示的恢复相位分布数值整体上相对于图2（b）所示的畸变相位分布数值有了更加明显的恢复效果，且相比于图2（c）更加接近于初始相位分布数值，即改进的WF 算法能够对涡旋电磁波的波前畸变进行更加有效地恢复。

图2 涡旋电磁波的二维相位分布图

3.2 误差分析

为了对本文提出的改进的WF 算法对涡旋电磁波波前畸变的校正效果进行评估，引入了均方根误差：

其中，angle(φ(x,y))为初始相位值；计算未校正相位误差时，angle(φ'(x,y))为畸变相位值；计算校正相位误差时，angle(φ'(x,y))为校正相位值。

图3 给出了涡旋电磁波相位的误差分布。图3（a）和图3（b）给出了使用改进的WF 算法校正后的误差分布，图3（c）和图3（d）给出了使用GS 算法校正后的误差分布。其中，图中的红色曲线表示涡旋电磁波经大气湍流传输后产生的畸变相位与初始相位之间的均方根误差，黑色曲线表示使用相位校正算法校正后得到的恢复相位与初始相位之间的均方根误差，绿色曲线表示使用改进的WF 算法对畸变相位进行校正后得到的恢复相位与初始相位之间的均方根误差。

观察图3 可以发现，未校正相位与初始相位之间存在较大的误差值，使用WF 算法校正后的误差曲线整体上位于未校正误差曲线之下，使用改进的WF 算法校正后的误差曲线也位于未校正相位的误差曲线之下，且在大部分区域尤其是中心场的区域，校正相位误差要进一步小于使用WF 算法校正后的误差值。对比图3（c）和图3（d）给出的误差分布可发现，对于畸变相位的中心场，虽然使用GS 算法校正比使用改进的WF 算法校正具有更低的误差值，但对于畸变相位的边缘场，使用改进的WF 算法校正后的误差分布全部处于未校正相位的误差分布之下，且使用改进的WF 算法校正后的误差值小于使用GS 算法校正后的误差值，仿真结果表明，相对于WF 算法，改进的WF 算法对涡旋电磁波经大气湍流传输后产生的畸变相位具有更好的校正效果，相对于GS 算法，使用改进的WF 算法校正后的误差分布均小于未校正相位的误差分布，且对畸变相位的边缘场具有更好的校正性能。

图3 涡旋电磁波相位的均方根误差分布图

为了定量的对改进的WF 算法对涡旋电磁波波前畸变的整体校正效果进行评估，采用式(7)所示的相对均方根误差来进行评估[8]，计算结果如表1 所示。

其中，angle(φ(x,y))为初始相位值，angle(φ'(x,y))为使用校正算法对畸变相位进行校正之后的相位值。

表1 涡旋电磁波的相对均方根误差

观察表中数据可以得出，受大气湍流影响的涡旋电磁波的Errms为1.3668，使用WF 算法校正后的涡旋电磁波的Errms为1.0299，比受影响的涡旋电磁波的Errms降低了0.3369，使用改进的WF 算法校正后的涡旋电磁波的Errms为0.9979，比受影响的涡旋电磁波的Errms降低了0.3678，并且比使用WF 算法校正后的涡旋电磁波的Errms降低了0.032。分析表中的数据可以得出，WF 算法和改进的WF 算法都可以对受大气湍流影响的涡旋电磁波波前畸变进行校正，且使用改进的WF 算法比WF 算法能够更加有效的对涡旋电磁波波前畸变进行校正。

4 结束语

本文针对涡旋电磁波的自由空间通信需要进行相位校正的需求，提出一种改进的WF 算法，该算法通过在WF 算法的谱初始化过程中引入约束规则，克服了WF算法因迭代次数不足造成校正效果不理想的问题。仿真结果表明改进的WF 算法能够有效地对涡旋电磁波的畸变相位进行校正。虽然本文所提算法与其它算法相比在校正性能上得到了提升，但其校正性能还存在提升的空间，未来会考虑将其他相位恢复算法与改进的WF 算法相结合来进一步提升算法的校正性能。