谢小娟，张爱清，刘小明

(安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)

数字滤波是数字信号处理的基本手段之一。在IIR数字滤波器的设计中，如果没有特殊要求，对设计好的满足指标要求的模拟滤波器的数字化，一般采用双线性变换法实现。双线性变换法的优点是从根本上解决了脉冲响应不变法中的频谱混叠现象，但付出的代价是引起了频率失真[1]。为了减少失真，双线性变换常应用于如滤波器这类具有分段常数的频率特性的系统设计，而在各个分段边缘的临界频率点上产生的畸变，需通过频率的预畸变来加以校正[2]。因此，预畸变是双线性变换法中一个重要的概念。现有数字信号处理教材在介绍数字滤波器设计中的双线性变换法时，一般都给出了畸变的概念，但概念解释不太清楚[3]。既然双线性变化中模拟频率和数字频率之间的关系为Ω=(2/T)tg(ω/2)，为了得到所需要的数字频率ω，自然要按照Ω=(2/T)tg(ω/2)所对应的模拟频率来设计模拟滤波器，但为什么要把Ω=(2/T)tg(ω/2)称为预畸变呢？文献[4]通过文中列举的一个实例，可以清楚地说明此问题。其原因在于，对于模拟信号和模拟滤波器系统，在进行模拟到数字的转换时，数字频率和模拟频率的转换关系是不同的。因此当采用数字滤波器处理模拟信号时，在设计滤波器时存在预畸变问题，而当采用数字滤波器直接处理数字信号时，在设计滤波器时就不存在预畸变的概念了。显然，名词“预畸变”有其存在的前提，即不能脱离相比较的模拟频率环境[4]。笔者在最近几次教学实践中，采用文献[1]的思路并补充了自己的一些思考，使得预畸变的教学内容能与前期教学内容衔接紧密，逻辑性更强，更直观，有效弥补了教材对相关概念介绍的不足，取得了良好的教学效果。

文章接下首先简要介绍双线性变化原理，再介绍临界频率点畸变的概念，最后通过实例分析进而引入预畸变的概念。

1 双线性变换法原理

在IIR数字滤波器设计中，通常先设计满足指标要求的模拟滤波器AF(analog filter)，再数字化得到满足指标要求的数字滤波器DF(digital filter)。为了解决脉冲响应不变法数字化时DF相对于AF(analog filter)频响的混叠现象，即要将z=esT关系中s平面与z平面的多值映射关系变成一一对应的映射关系。具体分为2步：首先将s平面压缩成s1平面上一个宽度为2 π/T的水平带状区域，然后通过z=es1T将这个带状区域映射到整个z平面，实现s平面到z平面的单值映射，即

此时若已知AF的系统函数，则可计算DF的系统函数和频响特性，如式(1)和(2)所示：

(1)

(2)

可见，s平面上Ω与z平面的ω成非线性的正切关系，这也决定了双线性变换法适用于幅频特性即滤波特性具有分段常数特性的AF的数字化。

2 临界频率点的畸变

若存在一个满足滤波器性能指标要求且幅频特性为分段常数特性的AF，采用双线性变换法进行数字化，得到DF的幅频特性仍然具有分段常数特性，但在各分段临界频率点处有畸变，使得DF的滤波特性与所要求的性能指标不符[5]。

为了直观有效地进行说明，可以参考图1，设滤波器的模拟指标为(Ω1、Ω2、Ω3，αs，αp)，相应的数字指标为(Ω1T、Ω2T、Ω3T，αs，αp)。为了简单起见，图中绘制的是具有严格的分段常数的理想滤波特性曲线，故通带允许的最大衰减αs和阻带允许的最小衰减αp分别取值为零和无穷大。Ω1、Ω2、Ω3是AF的三个临界频率点，而是ω1、ω2、ω3是采用双线性变换法得到的DF的相应的三个临界频率点。若满足：

图1 临界频率点畸变

(3)

则称所设计的DF不存在临界频率点的畸变，DF的幅频特性满足数字指标的要求；若不满足，则表示DF的各个临界频率点存在畸变，DF的幅频特性不满足数字指标的要求，故而需要进一步修正设计。

3 畸变存在的前提条件

下面给出2个滤波器设计的例子，由此来说明，“畸变”概念是在特定的滤波器设计问题中才存在的。

例①：给定模拟指标(Ω1、Ω2、Ω3，αs，αp)，设计数字滤波器。

设计思路：先由模拟指标设计AF，其频响特性表示为如图1所示的H(jΩ)，再用双线性变换法设计DF，也就是根据式(2)得到DF的频响特性H(ejω)，其临界频率点为：

(4)

可见，式(4)不满足式(3)的要求，临界频率点存在畸变，DF不满足性能指标要求，故而需要“预畸变”来进行设计修正。

例②：给定数字指标(ω1、ω2、ω3,αs，αp)，设计数字滤波器。

可见，只有当给定模拟指标，先按照模拟指标设计了AF，再采用双线性变换法数字化得到DF时，才存在临界频率点的畸变问题，才有了后面要介绍的预畸变问题。

4 预畸变

“预畸变”校正的概念是为了解决“畸变”而提出来的，因此，对于“预畸变”概念的理解必须要在产生“畸变”的问题情境中讨论才符合逻辑。

为了便于说明，在此用文献[4]所采用的一个滤波器设计实例来进行说明。

例如，要求设计一个数字滤波器来处理模拟信号，使得频率处于0～0.2 kHz之间的信号可以通过，而处于0.3kHz之外的信号不能通过，设采样间隔T=1 ms(采用双线性变换法)。

分析：根据题目要求，应设计一个数字低通滤波器，由于给定的是模拟指标，正好符合产生“畸变”的条件。为了按题目要求完成对模拟信号的滤波处理，下面分两种情况来讨论。

情况一：设计一个满足性能要求的模拟滤波器AF1来实现滤波处理；

情况二：设计一个数字滤波器DF来实现滤波处理。DF的设计是先设计模拟低通原型滤波器AF2，再用双线性变换法数字化得到DF。如图2所示，给出了两种信号处理的结构框图。

情况一：

如图2(a)所示，设模拟信号为x(t)，其频谱为X(jΩ)，根据题意对其滤波处理，即实现Ω∈[0,400π]的频谱分量需要保留，而Ω∈[600π,+∞]的频谱分量需要滤除。

根据滤波要求，确定模拟滤波器AF1的性能指标为：

Ωp=2π×0.2×103=400π(rad/s)——通带截止频率

Ωs=2π×0.3×103=600π(rad/s)——阻带截止频率。

情况二：

如图2(b)所示，对于模拟信号x(t)，若要对其数字滤波处理，实际上需要先对其进行采样得到离散序列x(n)，经过离散系统即数字滤波器的滤波处理，得到离散序列y(n)，最后经过低通滤波器平滑处理恢复成如图2(a)所示的y(t)。设x(n)的频谱为X(ejω)，则根据题意DF应能实现，当ω∈[0,0.4π]，保留x(n)谱频分量，而ω∈[0.6π,π]时，滤除x(n)谱频分量。由此确定DF的数字指标为：

图2 模拟信号两种信号处理框图

ωp=Ωp×T=0.4π(rad)——通带截止频率

ωs=Ωs×T=0.6π(rad)——阻带截止频率。

确定了数字指标后，我们可以按照上一节中例②所述，根据数字指标来设计DF，这样设计出来的DF满足滤波要求，不存在畸变。

如果我们按照例①的设计思路，即先由模拟指标设计满足模拟指标的AF1，再用双线性变换法设计DF，就有畸变存在。为此，改变设计思路为：先将模拟指标进行“预畸变”得到模拟指标，并设计满足此指标的AF2，再用双线性变换法设计DF，这样设计的DF与在例②所设计的DF一样，不存在畸变。具体如下：

首先通过“预畸变”确定模拟低通原型AF2的指标为：

.

(5)

.

(6)

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.

此时DF的临界点正好与其设计指标一致，可以正确地按照题目要求实现对x(n)滤波处理；反之，若不进行“预畸变”，AF2仍然采用Ωp、Ωs来进行设计，则设计出的AF2与AF1具有相同的滤波特性。将AF2再经过双线性变换后得到的DF的临界频率为：

.

.

此时DF的临界频率点与设计指标相比不一致，出现了“畸变”的问题，显然不能正确地实现对x(n)滤波处理。

可见，设计AF2之前，先进行“预畸变”的校正，是为了避免之后设计的DF的临界频率点出现“畸变”问题。“预畸变”是为“畸变”而来，“预畸变”概念的理解必须要结合“畸变”问题来理解，否则必然是片面的，容易在解题时出错的。

5 结束语

论文首先对双线性变换法中的畸变问题进行了讨论，明确给出了“畸变”存在的条件及畸变的定义，接着为了解决畸变问题而引入了“预畸变”的概念，最后通过一个IIR滤波器的设计实例，说明了预畸变的原因和效果。整个过程逻辑性强，易于理解。而教学实践也证明，通过本方法讲述畸变和预畸变的概念，能有效帮助学生对预畸变概念的认识和理解。