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正定二次型问题解法举隅

2020-12-15江苏省无锡市第一中学214031江南大学理学院214122谢广喜

中学数学研究(江西) 2020年12期
关键词:主元竞赛题道题

江苏省无锡市第一中学 (214031) 钱 铭 江南大学理学院 (214122) 谢广喜

数学竞赛题思维容量大,解竞赛题有助于学生创造性思维的培养.有些知识点常考常新,在命题者眼中,它们是提高学生数学核心素养的良好载体,本文试举例以分享.

评注:从根本上来说,这类问题的背景属于高等代数/线性代数中的正定二次型问题.

评注:发现λ=2,(*)式即为2[x-(y+1)]2+3y2-6y+3≥0,也即有2[x-(y+1)]2+3(y-1)2≥0,即x=2,y=1时取得等号.

仿照上述例题,可解决题目:若实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则3ab-3bc+2c2的最大值是.(2015浙江省五校联考第17题)

评注:这道题是带有附加条件的多元最值问题,通常的主元配方思想是基本的切入点,尤其要注意不等式取最值时的等号情形验证,否则可能得到错误答案.

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