北京市铁路第二中学 (100045) 宋云军

数学是思维的体操. 在核心素养背景下，培养学生的数学思维能力尤显重要.本文尝试从一道教材习题入手，为学生的思维“牵线搭桥”，引导学生进行深度探究，由此培养学生数学思维能力.

一、问题提出

问题1(人教B版高中数学选修2-1第70页练习B第2题)过抛物线的顶点O作两条相互垂直的弦OA和OB. 求证：弦AB与抛物线的对称轴交于定点.

师：这是一道抛物线的定点问题，设题中的抛物线方程为y2=2px(p>0) ，下面请大家讲解一下自己的做法.

师：生1使用了研究圆锥曲线问题的通性通法，请大家发表一下对这个方法的看法.

师：生2的思维很严谨，大家在解题过程中，要有意识“回头看”，检查解题过程是否有漏洞. 其实，我们借助直线AB斜率不存在的情况，可以确定出这个定点的坐标，这也就是在应用特殊到一般的数学思想.

综上所述，直线AB过定点(2p,0).

综上所述，直线AB过定点(2p,0).

师：大家善于思考，思维活跃，想出了三种方法解决问题1， 这三种方法启发我们在处理圆锥曲线问题时，不能一味追求设点或者设斜率来寻找切入点，而是应该根据题目条件或者题目所求灵活选择. 由此我们得到抛物线的第1个结论.

结论1 设抛物线y2=2px(p>0)，过抛物线的顶点O作两条相互垂直的直线OA和OB，则直线AB过定点(2p,0).

点评：在问题1的探究中，学生注意到考虑斜率k是否存在，是否为零；截距b是否为零等情况，使分类讨论成为自然而然的事情，有效地训练了学生思维的完备性、深刻性和创造性，使不同层次的学生得到不同的发展.

二、逆向探究，猜想论证

问题2 结论1的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？ 请给予证明.

生5：设抛物线y2=2px(p>0)，过点(2p,0)的直线与抛物线相交于A，B两点，O为抛物线的顶点，则OA⊥OB.

师：牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”生5和生6的合作很完美，带领大家经历了从猜想到验证的过程. 证明了结论1的逆命题是正确的，由此我们得到抛物线的第2个结论.

结论2 设抛物线y2=2px(p>0)，直线y=k(x-2p)(k≠0)，与抛物线相交于A，B两点，O为抛物线的顶点，则OA⊥OB.

点评：引导学生构造已知命题的逆命题，并对其进行真假判断，有利于培养学生逆向思维能力，能开阔学生思路，深化理解，感悟本质，实现知识的“再创造”.

三、深度探究，类比推广

问题3 结论1中的直线OA与OB相互垂直，等价于直线OA与OB斜率之积为-1，如果把条件改为：直线OA与OB的斜率之积为一个不为零的常数λ，是否还能得到类似的结论呢？

师：同学们善于类比，奇思妙想，通过类比问题1的解答方法，为解决问题3“插上了翅膀”，由此我们得到抛物线的第3个结论.

点评：通过类比衍生，迁移拓广，提出新的问题并加以解决，能够培养学生对知识的迁移能力，促进学生形成良好的认知结构，培养学生的合情推理能力和数学思维能力.

四、拓展思维，提高应用水平

问题4 (2018年西城区高二数学(理科)第一学期期末第18题)设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A,B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点.(Ⅰ)略；(Ⅱ)当OA⊥OB时，求|OA|·|OB|的最小值.

问题5 (2015年全国高中数学联赛广东赛区预赛试题第10题)已知抛物线y2=2px(p>0)上两个动点A(x1,y1)(y1>0)，B(x2,y2)(y2<0).(Ⅰ)略；(Ⅱ)若OA⊥OB，求线段AB的中点M的轨迹方程.

点评：笛卡儿说：“我所解决的每一个问题将成为一个范例，以用于解决其他问题.”问题4，5都是以问题1作为题根而编制的，学生通过一个问题解决一类问题，举一反三，触类旁通，激活思维的变通性.

五、教后反思

(1)发掘教材习题，培养学生的探究意识

前苏联数学教育家奥加涅相指出：“很多例习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可行性.” 教学中，教师应重视教材习题的潜在功能，平时多注意和积累教材一些有价值的习题，并且对它们进行变式研究，有意识地引导学生对它们进行深入的探究，挖掘出隐含的问题的本质属性，探求其规律性的解题思路和解题方法，促进学生知识的同化、迁移和应用，培养学生的探究、创新意识.

(2)加强变式探究，培养学生的思维能力

所谓变式探究是指在教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题，从不同角度、层次、形式、背景做出改变，即有目的地对命题的题设和结论进行合理的转化，提升命题的可能性，然后引导学生以已经掌握的知识为基础，探究解决这些新命题．

正如新课程中所指出：“学生的学习活动不应只限于接受、 记忆、 模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的方式．”【1】抓住问题的本质特征，遵循学生认知规律，在学生思维水平的 “最近发展区”对问题进行变式探究，从不同角度拓宽思路 、层层推进，让学生享受探索之旅的同时，提高了应变能力、探索能力，还培养了思维的灵活性与创造性.

教师不应把探究出的问题的结果作为一次探究活动的结束 ，而应把问题的探究和发现解决的过程延伸到课外和后续内容的学习.【2】一些学有余力的学生对本节课问题1的探究可能“意犹未尽”，有一种继续在课余时间进行探究与学习的动力.所以，笔者又设计了如下对问题1的两个变式探究，为学有余力的学生课后进行独立探究.

变式1 设抛物线y2=2px(p>0)，过抛物线上任一点P(x0,y0)作两条相互垂直的直线PA和PB，则直线AB过定点(x0+2p,-y0).

“在课堂上，展现‘活生生的’数学探究和应用过程，让学生凭借已有的知识和经验积极参与各项活动，通过自己的观察、思考、操作、尝试、验证，再加以分析、比较、抽象、概括 ……获得数学知识和问题解决．”【3】变式探究并不是单一地追求深度和难度，它的关键在于教师精心设计，巧妙设问，将学生带进探究的深度思考中，充分发挥学生的主体性，让学生在足够的时间与空间经历质疑、自主探究、合作交流的活动过程，培养思维能力，从而培养学生终身学习的愿望和能力.