张大鹏，雷勇军

(国防科技大学 空天科学学院， 湖南 长沙 410073)

压电纳米材料不仅具备十分独特的力电耦合性能，可实现机械能与电能的相互转化，在力学、电学、热学等方面也表现出许多优异特性[1]，并在纳米发电体[2]、纳米谐振器[3]以及纳米传感器[4]等领域展示出巨大的应用潜力。作为先进纳米器件研制与应用过程中的关键技术之一，压电纳米元件的振动特性研究已成为当前纳米力学领域关注的热点之一[5-7]。

根据非局部弹性理论，Ebrahimi等[8]建立了弹性基体上功能梯度纳米梁的振动控制方程，并分析了外部温度和湿度等环境因素对纳米梁振动特性的影响。在此基础上，Ebrahimi等[9]进一步考虑了基体和功能梯度压电纳米梁的黏弹性特性，系统分析了基体性能参数、温度、湿度等因素对不同边界条件下黏弹性基体中黏弹性纳米梁的影响情况。Arani等[10]基于应变梯度理论和Pasternak弹性地基模型对弹性基体中纳米梁-压电纳米梁组合系统的非线性振动问题进行了相关研究。此外，Ansari等[11]还根据Hamilton原理建立了后屈曲下压电纳米梁热-机电振动特性分析的非局部Timoshenko梁模型，并利用微分求积法给出了一般边界条件下压电纳米梁的固有频率。采用相同的理论模型与求解方法，Ke等[12]对压电纳米梁的热-机电振动特性问题进行了深入研究。同时，Ke等[13]还利用所建立的非局部Timoshenko梁模型研究了压电纳米梁的非线性振动问题，并研究了非局部参数、温度载荷、外部电压等因素对压电纳米梁非线性振动特性的影响情况。Jiang等[14]分析了内部残余应力、几何非线性等对压电纳米线(nanowire)振动特性的影响，指出内部残余应力可在一定程度上降低纳米线的固有频率。就目前而言，国内外相关学者在研究基体中压电纳米元件的振动特性问题时大都将基体简化为弹性地基模型进行分析，但由于实际工程中涉及的多数基体为典型的黏弹性材料，采用弹性地基模型无法准确模拟其黏弹性特性，因此有必要针对该方面问题展开相关研究。

本文针对黏弹性基体中压电纳米梁的热-机电振动特性问题，综合考虑非局部效应、压电效应、温度场及电场等复杂因素影响，推导出系统的振动控制方程，并利用传递函数方法(Transfer Function Method, TFM)得到任意边界条件下压电纳米梁的固有频率和相应振型。以锆钛酸铅压电陶瓷-4(PieZoelectric ceramic Transducer-4, PZT-4)材料制成的某压电纳米梁为例，通过与相关文献结果进行对比分析，验证了所建分析模型与求解方法的有效性，并在此基础上系统分析了非局部效应、外部电压、温度载荷、黏弹性基体等因素对压电纳米梁热-机电振动特性的影响规律。

1 振动控制方程与边界条件

研究对象如图 1所示，在直角坐标系oxz中，某压电纳米梁置于黏弹性基体中，同时受到温度场、电场和双轴向力共同作用影响。图中，L和h分别表示压电纳米梁的长度和厚度，P0为压电纳米梁所受的双轴向力(压力或拉力)，ΔT为温度变化梯度，Φ为外部电场的电势。为研究黏弹性基体中压电纳米梁的热-机电振动特性，可将压电纳米梁等效为Euler梁模型，黏弹性基体等效为visco-Pasternak黏弹性地基模型。

图1 黏弹性基体中压电纳米梁Fig.1 Piezoelectric nanobeam embedded in viscoelastic medium

为考虑压电材料的非局部效应，Zhou等[15-16]将非局部弹性理论扩展到压电材料中，并给出了非局部压电材料的微分型本构方程。

[1-(e0a)22]σij=cijklεkl-eijkEk-λijΔT

(1)

[1-(e0a)22]Di=eiklεkl+κikEk+piΔT

(2)

(3)

其中，σij、εkl、Di和Ek分别表示压电材料的应力、应变、电位移和电场分量，cijkl、eijk、κik和pi分别表示压电材料的弹性模量、压电参数、介电常数和热电系数。

根据式(1)和式(2)，可得到压电纳米梁的本构方程。

[1-(e0a)22]σxx=c11εxx-e31Ez-λ11ΔT

(4)

[1-(e0a)22]Dx=κ11Ex

(5)

[1-(e0a)22]Dz=e31εxx+κ33Ez+p1ΔT

(6)

电场分量Ek可由电势Φ(x,z,t)得到，其关系式为：

(7)

为此，首先需要确定电势Φ(x,z,t)的具体形式。Quek和Wang[17-18]在研究压电薄板及压电梁的频散特性和失稳特性时，为使电势Φ(x,z,t)满足Maxwell方程，假设Φ(x,z,t)为关于纳米梁厚度方向z的余弦函数和线性函数的组合，即

(8)

式中：φ(x,t)为压电纳米梁中面的电势，是随空间坐标x和时间t变化的函数；V0为所受外电压。

将式(8)代入式(7)，可得到电场的具体表达式。

(9)

黏弹性基体中压电纳米梁热-机电振动特性分析的振动微分方程及边界条件可以通过Hamilton原理得到，有

(10)

式中，Πk、ΠF和Πs分别表示压电纳米梁的动能、外力功和应变能。 其中，应变能Πs可表示为：

(11)

将式(4)～(6)和式(9)代入式(11)，可得：

(12)

式中，M为压电纳米梁的弯矩，其表达式为：

(13)

压电纳米梁的动能Πk和外力功ΠF可分别写为：

(14)

(15)

式中：NPx、NTx和NEx是由双轴向力P0、温度变化梯度ΔT和外部电压V0产生的x向外载荷，且有

(16)

NQ为visco-Pasternak黏弹性基体的作用力。

(17)

式中，kG、kw和ct分别表示visco-Pasternak黏弹性基体的剪切弹性模量、Winkler弹性模量和阻尼参数。

将式(12)、式(14)和式(15)代入式(10)，并进行分部积分，可得：

(18)

令变量δw和δφ前的系数表达式为0，可得到压电纳米梁的振动微分方程。

(19)

(20)

式中涉及的无量纲参量定义如下：

其中：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

同时，压电纳米梁的弯矩Mx和剪力Qx的具体表达式可写为：

(28)

(29)

为求得压电纳米梁的固有频率，令式(19)和式(20)的解为：

(30)

(31)

(32)

将式(30)和式(31)代入式(19)和式(20)，有

(33)

(34)

同时，式(28)和式(29)进一步化为：

(35)

(36)

为求解系统的振动微分方程，需要确定压电纳米梁的边界条件。假设压电纳米梁两端边界上的电势φ(x,t)均为0，并给出了如下三种典型边界条件：

1)自由端边界条件

φ(x,t)=Q(x,t)=M(x,t)=0,
x=0 或x=L

(37)

2)简支端边界条件

w(x,t)=φ(x,t)=M(x,t)=0,
x=0 或x=L

(38)

3)固支端边界条件

(39)

2 传递函数法求解

定义如下状态向量：

(40)

根据式(40)，式(33)和式(34)可改写为状态方程形式。

(41)

(42)

其中：

(43)

(44)

(45)

类似地，压电纳米梁的边界条件可写为状态方程形式。

M(Ω)η(0,Ω)+N(Ω)η(1,Ω)=0

(46)

式(41)的解可写为：

(47)

将式(47)代入边界条件(46)，有

[M(Ω)+N(Ω)eF(Ω)]η(0,Ω)=0

(48)

则压电纳米梁的无量纲固有频率Ω可通过求解如式(49)所示特征方程得到。

det[M(Ω)+N(Ω)eF(Ω)]=0

(49)

对应的模态振型为：

(50)

根据式(32)，可得到黏弹性基体中压电纳米梁在热-电-力载荷作用下的固有频率。

(51)

3 算例分析

本节以PZT-4材料制成的纳米梁为例进行算例分析。其中，PZT-4的相关材料参数如表 1所示[13]。若无特殊说明，默认压电纳米梁的长度和厚度分别为L=12 nm和h=2 nm。

表1 PZT-4压电纳米梁相关材料参数

针对无基体时PZT-4压电纳米梁的振动特性问题，Ke等[13]根据非局部弹性理论和Hamilton原理建立了系统的振动控制方程，并通过微分求积方法得到不同边界条件下压电纳米梁的固有频率及相应振型。下面基于文献[13]中计算结果对本节所建模型和求解方法的正确性进行检验。本算例中涉及的基本参数与文献[13]一致：压电纳米梁厚度h=2 nm，非局部参数α=0.1，外载荷P0=V0=ΔT=0，相关材料参数见表 1，同时不考虑黏弹性基体影响(即kw=kG=ct=0)。表2给出了S-S和C-S边界条件下压电纳米梁在不同长细比η时的无量纲固有频率TFM解以及文献[13]对应的微分求积法(Differential Quadrature Method, DQM)的解。从表2中可以看出：各边界条件下压电纳米梁一阶无量纲固有频率的TFM解与文献[13]中的计算结果吻合较好，验证了所建模型和求解方法的正确性。

为方便以后其他学者进行对比分析，表 3给出了三种典型边界条件(C-F、S-S和C-C)下压电纳米梁在不考虑黏弹性基体(kw=0，kG=0，ct=0)和考虑visco-Pasternak黏弹性基体(kw=0.1 GPa/nm，kG=0.25 GPa·nm，ct=1×10-4GPa.ns/nm)两种情况下的前三阶固有频率。本算例中采用的基本参数与上一算例相同。从表 3可以看出：除了C-F边界条件下的一阶阻尼频率之外，不同边界条件下各阶阻尼频率均随非局部参数α的增大而明显减小。考虑visco-Pasternak黏弹性基体影响后，压电纳米梁的固有频率出现了虚部项，这是系统引入了黏弹性基体的阻尼特性所导致的。压电纳米梁的一阶阻尼频率在考虑基体后明显增大，而高阶阻尼频率增大幅度较小，其原因是黏弹性基体可显著提高系统的结构刚度。从表3中还可以看出：各边界条件下压电纳米梁的前三阶复固有频率的虚部(即系统的阻尼比)均为0.530 5i GHz，且不随非局部参数α的变化而变化。这是由于复固有频率的虚部仅与黏弹性基体的阻尼系数相关，而在本文计算分析中并未考虑visco-Pasternak黏弹性基体的非局部效应。同时，边界条件对压电纳米梁的振动特性同样具有很大影响。进一步，图2给出了非局部参数α对S-S和C-C边界条件下压电纳米梁前三阶振型的影响情况。从图中可以看出：非局部参数α对S-S边界条件下压电纳米梁的各阶振型均无明显影响，而对C-C边界条件下的振型具有一定影响，且影响程度随着模态阶次的提高而有所增大。

表2 无基体压电纳米梁一阶无量纲固有频率Ω与文献[13]对比情况

表3 不同α下压电纳米梁在典型边界条件下的前三阶固有频率

(a) S-S边界条件下振型(a) Mode shapes with S-S boundary conditions

(b) C-C边界条件下振型(b) Mode shapes with C-C boundary conditions图2 不同边界条件下压电纳米梁前三阶振型Fig.2 The first three mode shapes for piezoelectric nanobeams with different boundary conditions

由于非局部参数α对压电纳米梁固有频率的虚部无影响，下面仅分析其对压电纳米梁固有频率实部的影响情况。图 3给出了三种典型边界条件下压电纳米梁在无基体(kw=kG=ct=0)和有基体(kw=0.1 GPa/nm，kG=0.25 GPa·nm，ct=1×10-4GPa·ns/nm)影响时一阶频率比ωNL/ωL实部随非局部参数α的变化曲线。其中，ωNL/ωL用于表征非局部效应的大小，ωNL和ωL分别表示基于非局部理论(α≠0时)和经典局部理论(α=0时)计算得到的固有频率值。本算例中采用的基本参数与上一算例相同。从图3可以看出，S-S和C-C边界条件下压电纳米梁在有基体和无基体影响时一阶频率比ωNL/ωL均随非局部参数α的增大而明显减小，但C-F边界条件下ωNL/ωL则随非局部参数α的增大有所增大。这表明对于S-S和C-C边界条件下压电纳米梁考虑非局部效应会在较大程度上削弱系统的结构刚度；而对于C-F边界条件，其结构刚度则有所增强，这一特殊规律与文献[19-20]中所描述的一致。从图中还可以看出，考虑visco-Pasternak黏弹性基体后，各边界条件下一阶频率比ωNL/ωL随非局部参数α的变化幅度有所减小，即考虑黏弹性基体后可一定程度上减小非局部效应对压电纳米梁振动特性的影响。同时，边界条件对压电纳米梁的振动特性具有较大影响，增大边界连接刚度可显著提高压电纳米梁振动特性对非局部效应的敏感度。

图3 压电纳米梁一阶频率比ωNL/ωL实部随非局部参数α的变化曲线Fig.3 Effect of nonlocal parameter α on the real parts of the first frequency ratios ωNL/ωL for piezoelectric nanobeams

进一步，为分析非局部参数α对压电纳米梁高阶固有频率的影响情况，图 4给出了压电纳米梁二阶频率比ωNL/ωL实部随非局部参数α的变化曲线。从图4可以看出，各边界条件下压电纳米梁高阶固有频率均随非局部参数α的增大明显减小。同时，非局部参数α对压电纳米梁固有频率的影响程度随频率阶次的增大而增大，例如当非局部参数α由0增大到0.2时，无基体支撑时S-S边界条件下压电纳米梁的一阶频率比ωNL/ωL减小了11.76%，而二阶频率比ωNL/ωL则减小了36.54%。此外，与图3的基频相比，黏弹性基体对高阶固有频率的影响明显减小。

图4 压电纳米梁二阶频率比ωNL/ωL实部随非局部参数α的变化曲线Fig.4 Effect of nonlocal parameter α on the real parts of the second frequency ratios ωNL/ωL for piezoelectric nanobeams

为进一步分析边界条件、温度变化梯度ΔT和双轴向力P0对压电纳米梁外电压V0敏感度的影响情况，图 5和图 6分别给出了各边界条件下压电纳米梁(α=0)一阶和二阶频率比ω/ωv2实部随电压V0的变化曲线。这里，频率比ω/ωv2用于表征外电压V0对固有频率的影响程度，其中ωv2表示外电压V0=-0.2 V时压电纳米梁的阻尼频率。从图中可以看出，压电纳米梁前两阶频率比ω/ωv2均随电压V0的增大近似呈线性减小。同时，当温度变化梯度ΔT和双轴向力P0增大时，各边界条件下压电纳米梁前两阶频率比ω/ωv2的减小幅度均随之增大，且当双轴向力P0增大时其减小幅度更为明显。例如，当电压V0从-0.2 V增大到0.2 V时，C-F压电纳米梁一阶频率比ω/ωv2在ΔT=600 ℃和P0=-3 N时减小了17.47%，在ΔT=-600 ℃和P0=3 N时减小了37.15%，而在ΔT=600 ℃和P0=3 N时则减小了51.58%。这表明，压电纳米梁固有频率对外电压的敏感度随温度变化梯度ΔT或双轴向力P0的增大而增大。从图中还可以看出，前两阶频率比ω/ωv2随电压V0的变化幅度按照C-F>S-S>C-C的顺序依次减小，表明减小边界连接刚度可显著提高压电纳米梁对电压V0的敏感度。同时，压电纳米梁对电压V0的敏感度随频率阶次的提高明显减小。

图5 各边界条件下压电纳米梁一阶频率比ω/ωv2实部随电压V0的变化曲线Fig.5 Effect of external electric voltage V0 on the real parts of the first frequency ratios ω/ωv2 for nonlocal piezoelectric beams with various boundary conditions

图6 各边界条件下压电纳米梁二阶频率比ω/ωv2实部随电压V0的变化曲线Fig.6 Effect of external electric voltage V0 on the real parts of the second frequency ratios ω/ωv2 for nonlocal piezoelectric beams with various boundary conditions

为研究黏弹性基体对压电纳米梁振动特性的影响情况，图 7给出了不同α和kw下S-S压电纳米梁一阶固有频率实部和虚部随阻尼系数ct的变化曲线。本算例中，取ΔT=600 ℃、P0=3 N和V0=0.3 V，其他基本参数同上一算例。从图7可以看出，当阻尼系数ct大于临界阻尼系数(ct)crit时，压电纳米梁固有频率实部为0，即压电纳米梁不发生往复振动，此时系统处于过阻尼状态。相应地，压电纳米梁固有频率虚部在临界阻尼系数(ct)crit处发生突变。当阻尼系数ct小于临界阻尼系数(ct)crit时，固有频率实部随阻尼系数ct的增大非线性减小，而其虚部则线性增大，且此时Winkler弹性模量kw对虚部影响很小，可忽略不计。从图中还可以看出，增大Winkler弹性模量kw可显著增大临界阻尼系数(ct)crit，而增大非局部参数α则减小系统的(ct)crit。

(a) 实部(a) Real parts

(b) 虚部(b) Imaginary parts图7 S-S压电纳米梁一阶固有频率ω随阻尼系数ct的变化曲线Fig.7 Variation of the first complex natural frequencies for S-S piezoelectric nanobeams with damping parameter ct

4 结论

本文根据Hamilton原理建立了黏弹性基体中压电纳米梁的热-机电振动特性分析模型，并采用传递函数方法求得了一般边界条件下固有频率的闭合解。通过与文献结果进行对比，验证了所建模型和求解方法的正确性。在此基础上，系统分析了非局部参数、边界条件、外部载荷、黏弹性基体等因素对压电纳米梁振动特性的影响，得到的主要结论有：

1)压电纳米梁的振动特性对外电压具有较大敏感度，且其敏感度随温度变化梯度和双轴向力的增大而增大，随边界连接刚度的增大而减小；同时，除C-F压电纳米梁基频外，压电纳米梁对外电压的敏感度随非局部效应的增强而增大。

2)外电压、温度变化梯度和双轴向力对压电纳米梁振动特性具有较大影响，通过改变相关参数可在一定程度上调节压电纳米梁的振动特性。

3)压电纳米梁固有频率虚部仅与黏弹性基体的阻尼系数相关，不受边界条件、非局部参数、外电压、温度变化梯度和双轴向力影响。

4)存在临界阻尼系数(ct)cri使得压电纳米梁不发生往复振动，且临界阻尼系数(ct)crit随频率阶次和Winkler弹性模量的增大而增大，随非局部参数的增大而减小。