周珏良， 何郁波， 谢乐平

（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化 418008）

1 引言

经典整数阶的微积分是现代数学分析的基石，而于19世纪末兴起的分数阶微积分的理论随着科技的发展逐渐丰富起来，形成了现在的多种分数阶导数的定义.分数阶微积分可视为经典整数阶微积分的一种推广，即将经典意义下整数阶的微积分运算推广到分数阶的微分和分数阶的积分，也可以称之为“非整数阶微积分”[1].由于分数阶微分算子不同于整数阶微分算子而具非局部的特点，导致分数阶微分算子非常适合描述具遗传和记忆特性的材料，因此其应用的领域包含了反应扩散系统、弹性力学、生物流变学、生物传热学、非牛顿流体力学、多孔介质力学和信号处理及自动控制等领域[2-8].

本文主要研究如下涉及Caputo分数阶导数的非线性微分方程在无限区间（0，+∞）上解的存在性和唯一性，

2 预备知识

下面给出本文将用到的Riemann-Liouville分数阶积分、Caputo分数阶导数的定义和相关性质.

定义2.1[1]函数x（t）∶（0，+∞）→R的α＞0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义2.2[1]连续函数x（t）∶（0，+∞）→R的α＞0阶Caputo分数阶导数定义为

当α∉N时，n=[α]+1，[α]表示实数α的整数部分；当α∈N时，n=α.特别地，C=0，其中C为任意常数.

引理2.1[1]设α＞0，x（t）∈Cn-1[0，+∞），则有

引理 2.2[1]设α＞0，x（t）∈C（0，+∞），则有

3 主要结果

首先给定本文将用到的空间

其中：λ＞1，定义其范数

易证（X，||·||X）是Banach空间[9].

下面给出本文所用到的假设条件

（H1）连续函数x，y，trf（t，x，y）∶J×X×X→X满足

其中非负连续函数L1（t）、L2（t）满足

（H2）存在常数M＞0，使得f（t，0，0）满足

定理3.1 假设条件（H1）和（H2）成立，则初值问题（1.1）的解存在且唯一.

证明：定义算子T∶X→X，

事实上，对任意的u∈X，有

另一方面，

即对任意的 u∈X，可得 Tu（t）∈X，故算子 T ∶X→X.

对任意的 u，v∈X，有

故算子T∶X→X是严格压缩的.

综上，根据Banach压缩映射原理得到算子T∶X→X在Banach空间中存在唯一点u，使得Tu=u，即问题（1.1）在Banach空间X中存在唯一解.