侯燕香

【摘要】相似三角形是初中几何中的重要的知识。在考试复习阶段，往往由于教师对相似三角形中的基本图形或以练代讲，或以图论题，或低估学生的解题能力，导致相似三角形这一知识点常常成为学生学习难点。相似三角形中基本图形的复习课应在系统罗列基本图形的基础上，把重点放在提高学生从复杂图形中识别基本图形和探索基本图形之间联系的能力上。教学实践证明，快速识别与对应相似三角形中基本图形往往能有效突破难点。

【关键词】相似三角形;基本图形;复习课

《数学课程标准》在初中阶段对能力培养与方法习得方面要求：“能够从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系;能由基本图形的性质导出较复杂图形的性质”。当我们遇到一个较复杂的几何题时，首先要认真观察、分析它的的图形，并对图形进行分解，找出它由哪些基本图形组合而成（有时需要添加辅助线，构造基本图形），然后运用基本图形的性质去推理或计算，从而使问题得以解决。

一、试题回放

二、学生反馈

第（1）小问能完整解答，并能提供多种解法;但第（2）（3）小问却无从下手，找不到思路和突破口。

三、归因分析

本题考查相似三角的判定和性质、圆的切线的性质和切线长定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题。学生在解答中无从下手，表明还没有切实掌握“相似三角形”这个知识点，尤其对其中的基本图形很陌生，如双垂直型下的“射影定理”。

復杂的题目往往可以分解为若干个简单的题目。教师在解题教学中，首先要不断引导学生去总结一些基本图形，吃透这些基本图形的本质，然后让学生在以后的解题过程中遇到复杂的图形学会识别这些基本图形，最后在熟练掌握这些基本图形的基础上学会构造出这些基本图形，以打开求解思路或获得有效解法。

四、师生磨题

4.小结

解法中涉及的知识点：切线长定理，三角形全等，垂直平分线的判定定理，平行线分线段成比例定理等。思路方法总结：该问证明的方向明确，方法也颇多，可从不同角、不同知识点出发，但都是通过找相等的角去证明相等的边，这是通性通法，师生必须通晓。

（二） 第（2）小题，若DE·OB=40，求AD·BC的值。

1.结论特征分析：由DE·OB，AD·BC两个式子的结构特征，联想到处理此类问题的一般方法就是利用三角形相似，得到对应边成比例，然后变为积的形式即可。因此，尝试用分析法寻找问题的思路。

2.分析法探求思路

要求AD·BC的值，可证AD，BC边所在的三角形相似，结合图形容易发现“三垂直”型即基本图形4，易证从而有，所以AD·BC=OC·OD=OC2，而由OC2易联想到OC2=OB2-BC2勾股定理，或射影定理OC2=OK·OB，通过与已知OE·OB=40的比较，我们选择射影定理，结合“双垂直”型即基本图形5，即再一次证明进而得到即OC2=OB·OK而由基本图形6得所以AD·BC=即AD·BC=20.

主要涉及知识：射影定理（三角形相似），中位线定理。

涉及的基本图形：

3.综合法+分析法探求思路

由已知DE·BO=40结合基本图形7，容易发现联立两式得即DE·DP=80结合图形，认真观察，易发现基本图形8，双垂直模型。

得到，从而有OE·OP=CD2所以CD2=80，则由切线长定理得AD·BC=AE·BE再次发现双垂直模型即基本图形9，证，得到，从而得到AE·BE=OE2=OC2=20.

归纳总结：该问由相似三角形的面积比容易求出对应边的比，然后再根据三角形面积公式去求对应的底和高，解题方向还算明确，但由于计算比较巧妙，还是有难度的。

五、教学启示

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：应当注重和发展学生的模型思想。从某种意义上来说，数学就是一门研究模型的学科，数学离不开模型。广义来说，每一个数学概念和数学方法都是一个数学模型。模型化是所有的数学知识应用之心脏。在具体的数学教学中，对学生进行模型意识与模型思想的渗透与培植也是数学教学的一个重要方面。

由以上3个小问的解答可知，本题主要考查学生对以下相似三角形基本几何图形的掌握情况，尤其是双垂直型下的相关结论。本题涉及到了绝大部分相似三角形的基本图形，比较丰富，具体包括如下图：

要想顺利解答此题，这就对学生处理基本几何图形的能力提出了较高的要求。日常教学中，教师要不断给学生渗透转化思想，面对较为复杂的几何问题时，我们要认真分析图形，从中找出基本图形，分析图形之间内在的数量关系和位置关系。其实复杂的几何图形往是由基本几何图形构建与整合而成，突破难点的关键常常就是对复杂图形的分解与组合，即会灵活地进行图形运算。因此，教学中有意识地引导学生对复杂图形进行合理分解与组合，并从中分离出基本图形（有时需要添加辅助线），从中获得一些积极的解题心理暗示，找到解题的突破口和思路，使解题思路有水到渠成之感。教学中要重视引导学生总结和识别基本图形，归纳解题模型，进而培养学生的识图能力、构图能力和分析推理能力。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李清强.渗透数学文化  活用基本图形[J].中学数学教学参考（中旬），2019（11）：45-47.