王孟宸 魏嘉怡 张家伟

摘  要：為保证机场所有出租车的收益均衡，机场允许短途载客出租车返回优先再次载客。为判定返回机场的出租车能否享有优先权，提出了最大短途载客距离即短距阈值的概念。利润的方差最小时各出租车的收益就会更加均衡。基于这个数学理论，文章建立了利润方差最小的随机优化模型，并提供了求解算法设计。以成都双流国际机场出租车为例，对模型进行实证分析。通过计算得到机场出租车载客短途阈值为13.6km。最后通过讨论发现，该模型具有较强的应用性，值得推广。

关键词：随机优化模型;密度函数;短距阈值;收益均衡

中图分类号：O211.9       文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2020）33-0032-04

Abstract： In order to ensure the income balance of all taxis at the airport， the airport allows short-distance passenger taxis to return and give priority to carrying passengers again. In order to determine whether taxis returning to the airport can enjoy priority， the concept of maximum short-distance passenger distance， i.e.short-distance threshold， is put forward. When the variance of profit is the smallest， the income of each taxi will be more balanced. Based on this mathematical theory， this paper establishes a stochastic optimization model with minimum profit variance， and provides a solution algorithm design. Taking the taxi in Chengdu Shuangliu International Airport as an example， the model is empirically analyzed. Through calculation， the short-distance threshold of airport taxi passengers is 13.6km. Finally， through discussion， it is found that the model has strong application and is worth popularizing.

Keywords： stochastic optimization model; density function; short distance threshold; income equilibrium

1 问题的提出

在国内机场，出租车是旅客主要的交通工具之一。出租车一旦进入接客通道进入候客区，既不能选择乘客又不能拒载，如果一直搭载的乘客是短途的，那么这一趟的收益就不高，这样就可能会产生不公平，导致产生拒载现象发生引发纠纷，影响机场运营效率。如何在保证出租车收益的情况下，使旅客能顺利打车，一直是交通部门重点研究的课题。

有学者从“补贴司机”的角度做了不少研究。Ma等人[1]围绕某市出租车资源配置的问题，通过马尔萨斯模型与综合因素分析法评价补贴方案对“打车难”的影响;Hao等人[2]采用层次分析法分析出乘客与出租车“供求匹配”的程度高低，针对创建新的打车软件服务平台问题制定两种补贴方案：Liu等人[3]认为对司机的补贴可缓解打车难的问题，并制定了高峰补贴和偏远地区载客补贴的政策，虽然该政策鼓励了司机前往偏远区域载客，但发放补贴对于执行者来说成本较高。在当前全世界受新冠肺炎疫情的影响下，经济发展普遍受阻，“补贴司机”会给相关部门增加沉重的负担而不可行。

本文从载客里程长短的随机性上考虑，给予某些短途载客后返回的出租车直接载客“优先权”的优惠政策，以保证机场所有出租车的收益并使之均衡。通过拟合载客距离的概率密度函数，建立利润方差最小的随机优化模型。设计算法计算得出最大短途载客距离，为机场出租车管理部门提供参考。

2 问题的假设

假设一：机场出租车短途载客后只有一次再次直接载客的优先权。首次短途载客距离低于阈值后，机场允许该出租车返回机场是可以直接优先载客，无需排队。如果不幸再次载客还是短途，且载客距离仍低于阈值，将不再允许该出租车返回机场后有载客优先权。

假设二：出租车不得以任何理由据载乘客。在出租车司机发现乘客是短途乘车时，即使是在因短途载客返回再次直接载客仍是短途载客时，也不允许出租车拒载乘客，否则就会取消在机场运营的资格。

假设三：不考虑短途载客返回优先直接载客的方式。短途载客后再次回到机场，机场将设置专门的通途让其直接行驶到乘客候车的最前面。至于如何设计这个通过实现这一目标，不是本文的研究范畴，本文将不考虑这个问题。

假设四：出租车的载客收益仅与载客距离、价格和耗油费有关。出租车的收益涉及的因素比较多，包括载客距离、价格、耗油率、管理费、运营费等等。由于其他因素与各个地方的政策、出租陈本身的性能、出租车开车的习惯等相关且无法度量和比较。因此，本文仅考虑载客距离、价格和耗油费。

假设五：出租车每次载客的距离均服从同一分布，且相互独立。

3 载客利润的随机优化理论模型的建立

3.1 载客短距阈值的提出

机场出租车载客的收益主要与载客的行驶里程有关，而乘客的目的地有远有近。如此，短途的出租车司机利润会相对低一些，为了保证出租车司机的利润均衡，采取对某些短途载客再次返回的出租车给予接客的“优先权”，既可以直接优先再次载客，而无需排队。

设定一个最大短途载客距离，即短距阈值（符号c）。当出租车实际载客的行驶里程小于等于短距阈值时可以通过快速通道接客，几乎消除其排队的时间成本;当出租车实际载客的行驶里程大于短距阈值时，该司机不享有优先权。

3.2 出租车利润模型的建立

当出租车载客的行驶里程大于短距阈值时，如再次返回机场则需要重新排队接客，故在这种情况的利润（符号η）为首次载客的实际收费与消耗的油费之差。

當出租车载客的行驶里程小于等于短距阈值时，将获得返回机场获得直接载客优先权，即无需排队即可接到下一个客人。假设获得优先权的出租车在第一次载客结束后立即掉头返回机场进行第二次载客，此时司机的利润为第一次载客的实际收费减去往返两程油耗费用与第二次载客的实际收费减去单程油耗费用之和。

即出租车利润η的模型如下：

式中：x为出租车第一次载客的行驶里程（单位：km）;y为出租车短途载客后第二次载客的行驶里程（单位：km）;g（x）为行驶x公里后的出租车价格（单位：元）;h为出租车每公里油费（单位：元/km）;c为短距阈值（单位：km）。

3.3 载客短距阈值计算算法的设计

由数学原理可知[5]，出租车利润的方差Dη越小，出租车的利润就越均衡。因此要想达到出租车利润最为均衡就需要使得利润方差达到最小。

利润的方差Dη由下式可得：

Dη=Eη2-（Eη）2                  （2）

式中Eη是利润的数学期望。

依据假设五得知，利润的数学期望Eη的计算公式如下：

Eη=f（x）（g（x）-2hx）dx+f（x）（g（x）-hx）dx+

f（x）（g（y）-hy）dy （3）

式中f（x）为出租车行驶里程的概率密度函数，机场出租车载客是随机的，搭载短途旅客的可能性用概率密度表示。

根据随机优化的理论，涉及计算短距阈值的算法如下：

第一步：收集出租车载客距离的数据，从小到大进行排列。进行k等分，计算每一个区间距离发生的频数、频率，并画出直方图。

第二步：观察直方图的形状，确定大致分布密度。提出原假设，即H0：假设载客距离服从分布密度f（x）。运用下面的卡方检验公式进行检验，即

T=～χ2（k-q-1）

其中：n为数据总频数，k为区间个数，q为总体分布的参数个数;ni为每i个区间数据频数，总共有k个区间;为每个区间发生的概率。这是基于总体服从f（x）而计算得到的;当计算的T值小于            时，就接受原假设，认为载客距离服从分布f（x）。

第三步：计算出租车的利润η的数学期望Eη以及Eη2，求出Dη。

第四步：计算=0，求出c。此点对应的c值即最大短途载客距离。

4 载客利润的随机优化模型的实证分析

4.1 载客距离的概率密度的拟合

为验证出租车行驶里程是否服从正态分布，将对驶出成都双流国际机场出租车的行驶里程进行调研，通过GPS定位系统，采集200组机场（起点）与出港出租车载客目的地（终点）的经纬度数据（数据表见表1，由于篇幅限制，仅列出9组数据），计算出每辆出港出租车行驶的距离。

将出租车行驶的距离分成10个区间，计算每个区间的频数和频率。以载客行驶距离区间段作为横坐标，频率为纵坐标，绘制频率分布直方图，见图1。

通过图1可知，可以假设出租车载客距离服从正态分布。用MATLAB对采集的数据进行验证并计算出两个参数。

提出原假设H0：X～N（μ，σ2），其中==20.9153，=S*=5.5254

对立假设H1：X不服从正态分布N（20.9153，5.52542）

T=～χ2（k-q-1）

将数据集分为10个区间，k=10，ni为每个区间样本点的个数，i为每个区间X发生的概率，n为总样本点数，q=2表示正态分布中有两个估计的参数。

由MATLAB软件计算得到：

T0=10.84<χ（10-2-1）=14.0671

认为T0落在接受域里，认为服从正态分布N（20.9153，5.52542）。

正态分布的概率密度公式为：

f（x）=e  （4）

代入参数得到此模型的概率密度计算式为：

f（x）e （5）

4.2 出租车载客利润方差的计算

通过查阅成都市出租车网[4]得知其计价标准为起步价8元（在2km之内），之后路程每增加1km，价格增长1.9元，超过10公里后加收50%的返空费，即2.85元/km。且每km消耗的燃油费约为0.5元。

设行驶里程为x，则出租车价格g（x）为：

从机场驶出的出租车利润η为：

其中x为出租车第一次载客的行驶里程，单位：km;y为出租车短途载客后第二次载客的行驶里程，单位：km;c为最大短途载客距离，单位：km。

为使长短途出租车的收益均衡，选取利润的方差Dη为目标函数，最终求使Dη最小时的短途载客距离c，将其作为优化结果。

由于机场距离市中心较远，与以其他地点为出发地的出租车相比，机场出租车的行车距离更长，所以设定机场短途票阈值c大于该市出租车返空费的阈值10km，且假设行驶距离都大于起步价阈值2km。根据此条件计算出租车司机利润η的方差Dη，公式：Dη=Eη2-（Eη）2

其中Eη與Eη2的表达式如下：

4.3 短距阈值的计算

由上述已知对方差Dη求一阶导数，求得使D（η）'=0的极小值点，此点对应的c即最大短途载客距离。经MATLAB软件计算该最小值为13.6075km，最小方差为141.8239，为使计价方便，对公里数取整数，最后得到最大短途载客距离c为14km，该点方差为142.0032。

5 结论

本随机优化模型以给予短途载客出租车返回机场再次接客享有“优先权”的办法来保证司机的收益并使之均衡，不同于前人的补贴政策。提出了短距阀值概念并将其作为赋予优先权的标准;通过拟合载客距离的概率密度函数，建立利润方差最小的随机优化模型;设计算法计算得出短距阀值;以成都双流国际机场出租车为例，对模型进行实证分析，计算得能享有优先权标准最大短途距离为14km时，此时利润方差最小，所有出租车收益均衡。

该方案的实施需要统计到驶出机场出租车的载客状态以及行驶里程，对离开机场的短途出租车进行登记，在出租车返回机场时能够进行识别，并引导其进入短途载客出租车的免等候区域，这些都简单易实现，因此该模型方案具有可推广性。

参考文献：

[1]马赛赛，王淮民，张芳红.“互联网+”时代出租车资源配置与优化对策研究——以兰州市为例[J].中外企业家，2018（31）：197-198.

[2]郝冰，陈付彬，刘云涛.基于层次分析法解决“互联网+”时代的出租车资源配置[J].金融经济，2018（12）：108-110.

[3]刘佳倩，朱家明，李之好，等.“互联网+”时代出租车供需匹配测度及补贴方案效应分析[J].上海工程技术大学学报，2015，29（04）：378-382.

[4]http：//www.cdtaxi.cn/zujia.html[EB/OL].

[5]汪晓银，等.数学建模方法入门及其应用[M].北京：科学出版社，2017.