沈占立 杨剑文

勾股定理被称为是“千古第一定理”，它的姊妹定理——勾股定理的逆定理也毫不逊色，两者结合起来可谓“珠联壁合”，相得益彰，兹介绍两类与勾股定理的逆定理（简称为“勾逆”）相关的基本图形及其应用.

一“剑合璧”型

基本图形与结论

如图1，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB，BC，CD，AD均给出具体数值，先在Rt△ABC中由勾股定理求出AC的长，若满足AC²+CD²=AD²，則由勾股定理的逆定理可得到△ACD是直角三角形，即所谓的“共边用勾逆”.这幅图看上去像是两把利剑合在一起，故谓“双剑合壁”.

例1 如图l，在四边形ABCD中，AB=3 ，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.

解析：在Rt△ABC中，有AC²=AB²+BC²=3²+4²=25.

又AC²+CD²=25+144=169=13²=AD²，由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.

∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=（1/2）×3×4+（1/2）×5×12=36.

反思：解决有关勾股定理及其逆定理组合的问题时，一般先要找出已知的直角三角形，用勾股定理求出一边.再在另一个三角形中求出三边之间的平方关系，借助勾股定理的逆定理判断此三角形是否为直角三角形，以使问题获解.

例2 在图3所示的一块地ABCD中，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥CD，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.

解析：连接AC.在Rt△ACD中，由勾股定理知AC=5m.因5²+12²=13²，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形.∠ACB=90°.故S_{凹四边形ABCD}=S_△ABC-SS_△ACD=24（㎡）.

二“费马点”型

基本图形与结论

如图4，P点是等边△ABC（此特殊几何图形还可以为等腰直角三角形或正方形）内一点，PC，PB，PA均给出具体数值，且常是一组勾股数，以BP为一边，构造等边△BPE，连接AE（或将△BPC绕点B逆时针方向旋转60°得到△BEA.等腰直角三角形或正方形一般是旋转90°），即可由“手拉手”模型得到△BEA≌△BPC.再由“勾逆”得到Rt△AEP.本图形中的P点类似于“费马点”.

以上结论可为计算角度提供依据，帮助理清思路和简化汁算.

反思：在解决条件分散的问题时，一般是巧构特殊图形转换边和角，将分散的条件集中到一个图形中，再观察是否会生成新的特殊图形，可借助勾股定理的逆定理判断是否生成直角三角形.