李慧祥

勾股定理神秘而美妙，它的證法丰富而精彩.产生勾股定理各种巧妙证法的关键之一，是弦图的不同的结构，而对应于不同结构的弦图，又可以提出许多数学问题.下面略举几例，供同学们参考.

点评：本题也可由a²+b²=25。ab=8，利用乘法公式（a-b）²=a²+b²-2ab求出a-b，得到小正方形的边长.

点评：在“赵爽弦图”中，大正方形的边长等于直角三角形两直角边的平方和的算术平方根，小正方形的边长等于直角三角形两直角边的差.解题中要灵活运用这些结论寻找解题途径.

例3 （2019年，孝感）在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P，则点P'的坐标为（ ）.

A.（3，2）

B.（3，-1）

C.（2，-3）

D.（3，-2）

解：如图5，作PA⊥y轴于点A，作P'B⊥y轴于点B.由此可联想到“弦图”，就会发现△OAP≌△PBO，答案唾手可得.点P'的坐标为（3，-2），选D.

点评：“弦图”中包含着多个“一线三直角”的模型，因此遇到“一线三直角”（即简化的“弦图”）的条件时，可联想“弦图”中的全等三角形.

例4 （2011年·温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图6）.图7由弦图变化而得，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁，S₂，S₃.若S₁+S₂+S₃=10，则S₂的值是_____.

解：设四边形MNKT的面积为x，八个全等直角三角形每个的面积为y.

因正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁，S₂，S₃，且S₁+S₂+S₃=10，由图形可知S₁=8y+x，S₂=4y+X，S₃=X.

∴S₁+S₂+S₃=3x+12y=10 ，x+4y=10/3.

∴S₂=X+4y=10/3.

练习

1.（2017年·襄阳）“赵爽弦图”利用面积关系巧妙地证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图8所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若（a+b）²=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）.

A.3

B.4

C.5

D.6

2.（2018年·温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图9所示的长方形是由两个这样的图形拼成的，若a=3，b=4，则该长方形的面积为（ ）.

A. 20 B.24 c.99/4

D. 53/2