基于弹性地基杆系有限单元法的桩位移反分析方法

2020-11-16高杭

四川建筑 2020年5期

高杭

(西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031)

在基坑、边坡等工程建设的过程中，横向受力桩例如排桩、地下连续墙、抗滑桩等支护形式应用十分广泛[1-3]。针对此类支护结构，大量专家和学者已经做了很多的工程研究，并提出了集中典型的计算土压力的计算方法，例如经典计算方法、弹性地基梁法及有限单元法。本文通过实测的水平位移值反演横向支护桩的桩后土压力。相比于监测仪器误差大的特点，该方法在工程实践中更为简便、经济、有效。

本文采用弹性地基杆系有限元法[4-5]，其基本计算原理是将横向受力桩基底上面的部分作为普通梁单元，并把基坑下面的土看作弹性地基梁单元，因此对该支护结构的主动土压力和被动土压力进行杆系有限元分析。本文的弹性地基杆系有限单元法的主要计算过程和有限元的矩阵计算过程类似，首先离散支护结构、形成单元刚度矩阵、集成整体刚度矩阵以及建立矩阵平衡方程来求解，最后使用最小二乘法[6]进行优化得到最优解。

1 基本原理

1.1 桩单元离散

该将横向支护桩从顶部向下分为两个节点且等截面的杆单元。如果一共有N个单元，则此N个桩单元的节点数为N+1个。同时，为了保证计算的精确度，单元一般划分的长度为1～2 m。除此之外，在横向受力桩截面的突变处、荷载处、地层分界线和支撑作用点处等尽量分布节点，便于后期计算。

1.2 刚度矩阵的合成

近设长度为Ni的杆单元，在其节点Ni+1处的剪力和弯矩分别为Qi、Mi、Qi+1、Mi+1，单元两端的位移分别为ui、ui+1，如图1所示。

图1 杆单元受力与变形

根据结构力学梁单元的转角位移方程和叠加原理以及单元受到的荷载与节点之间的关系，单元刚度方程为以下形式：

[Kb]e{δ}={P}e

(1)

式中：[Kb]e为单元刚度矩阵；{δ}为单元位移阵列；{P}e是单元荷载阵列。单元刚度矩阵[Kb]e可以表示为：

(2)

式中：E为桩的弹性模量；I为截面惯性矩；l为单元长度。

对于被动区土体的刚度矩阵而言，由Winkler弹性地基梁原理可知，土体产生的土抗力为：

p(y)=myu

(3)

将上式带入等效节点载荷的计算公式：

(4)

可以得到被动区域土体的刚度矩阵为：

(5)

式中：b0为桩计算宽度；m为地基土抗力比例系数；h为开挖的深度。

最后将桩单元矩阵和土体刚度矩阵合成为总体刚度矩阵，即根据单元的编号将各个单元矩阵首尾相加拼装成一个大矩阵。

1.3 桩受力分析

在基坑开挖深度h之后，排桩两侧所受土压力随桩的位移不同而产生非线性变化。在桩后侧，分别设单元节点载荷为P0、P1、P2、P3、…Pn用来表示桩后呈非线性的土压力。

由此当深度y的单元受到如图所示假设的两端分别为pi-1、pi的线性荷载时，其单元上任意一点ξ的土压力大小可以用pi-1、pi表示为：

p(ξ)=pi-1+(pi-pi-1)ξ

(6)

则由两端分别为pi-1、pi的线性荷载产生的等效节点荷载，并进行积分可以得到

{P}e的矩阵分布形式如下：

{P}e=bpi-1l(1/2l/12 1/2 -l/12)T+

b(pi-pi-1)l(3/20l/30 7/12 -l/20)T

(7)

1.4 总体刚度矩阵及其解

当求得了总体刚度矩阵和节点和荷载矩阵之后，结构的刚度方程可以表示为：

(8)

若令[B]=[K]-1[A]，则可以得到：

(9)

若令实测{X}的系数矩阵为[C]，即

(10)

通过现场实测的方法得到m个截面的水平位移值{σ}=(δ1、δ2、δ3、…δm)，建立等式方程得到

(11)

该方程组的未知数p的个数n小于等式的方程数量m，属于超定的矛盾方程组，没有实质解,因此采用最小二乘法对位移实测数据优化求解。

2 最小二乘法求最优解

设位移残差平方和函数为：

(12)

如果对{P}时，目标函数{p}={p*}取得最小值。

(13)

当求导得到导数为0时，则{P}有唯一解：

{p}=([C]T[C])-1[C]T{δ}

(14)

土压力阵列{p}={p0p1p2…pn}即为反演的土压力。

3 算例分析

图2为某基坑开挖深度和荷载分布情况，开挖深度为11 m，桩径为1.0 m，桩长为14 m，入土深度为3 m，支护桩的弹性模量为30 000 MPa，基坑土层为泥岩，且其m值为30 000 kN/m4。假设该桩受到桩后土压力的作用而产生顶端最大位移为10 mm的线性位移。下文将通过弹性支点法和本文所述方法分别进行计算并进行比较验证其可行性。