数学核心素养视角下的“三线四环节”公式教学研究

2020-11-11余小芬

教学与管理(理论版) 2020年9期

摘要公式教学作为数学教学的重要组成部分，是发展学生数学核心素养的重要教学载体。在分析公式教学的一般特征及学习心理、公式教学现状的基础上，提出了数学核心素养视角下的“三线四环节”公式教学模式，并分析了模式内涵，给出了各环节的具体操作建议，为数学教师依据数学素养开展公式教学实践提供理论支撑与实践参考。

关键词核心素养公式教学三线四环节教学模式

发展学生的核心素养已然成为当今教育的热点，它是育人价值的集中体现，是深化基础教育改革的指导方向。发展学生的核心素养离不开学科核心素养的培养。所谓学科核心素养，是学生通过学科学习而逐渐形成的、适合个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[1]。它既能在学生身上体现和落实一门学科独特的教育价值，又能对人的核心素养发展带来独特贡献和作用，它不仅体现了学科自身的专业特点，也体现了学生发展核心素养的通适基础[2]。数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析是数学学科特有的素养，是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、態度与价值观的综合体现[1]。作为“必备品格”和“关键能力”交融而成的数学核心素养，主要还是在知识的建构过程中逐渐形成和发展起来的，知识的学习无疑是核心素养生成的基础[3]。自然而然会产生这样的问题：数学教学中，如何将知识的学术形态转化为有利于学生学科核心素养发展的学习样态，使学生理解学科本质的同时，获得个人素养的全面发展？

数学命题教学是指数学公理、定理、公式、法则、数学对象性质等的教学，它是数学教学的重要组成部分。其中，数学公式称为程序性命题，其实质是解决一类问题的规则和程序[4]。按传统认识论的观点，数学公式是一种“作为事实”的客观存在，是“人类的认识成果”，是在实践的基础上产生又经过实践检验的对客观实际的反映。然而对学生的成长而言，公式却不应只是事实、规则和程序，它应是可研讨、可批判、可再创造的对象[5]。因此，本文拟在分析公式教学的一般特征及学习心理、公式教学现状的基础上，探讨数学核心素养视角下的公式教学，以此打开学生学习与素养发展的内部转换过程，促进学生全面发展，同时促使教师教育理念的更新和教学行为的改进。

一、公式教学的一般特征及学习心理

一般情况下，公式教学可分为公式的获得、证明和应用三个阶段。其中，公式的获得常有以下三种教学方式：第一，直接展示公式。比如学习几何概型定义后，直接给出其概率计算公式。第二，展示公式的部分内容，再探索获得完整公式。比如学习两角差的余弦公式，先明确要解决问题，再探究其展开结果。第三，通过考察公式的特例，抽象、概括、归纳出公式。例如学习等差数列的通项公式，先观察特例，再类比归纳一般公式。从学习心理上看，方式一可看作是公式的同化。学生应先将原有观念与公式中的各有关概念联系起来，得到刺激与反应的联结，再将激活的结点联结起来，然后将新公式纳入认知结构，并对原有认知结构进行改组和加工，形成新的认知结构;后两种方式可理解为公式的形成，学生根据已有信息，经历辨认、分化、假设、验证、抽象、概括等系列认知加工过程，进而获得公式[4]。公式证明中，学生需激活与公式相关的概念、命题，再通过评判、选择适合的结点，探索连接条件和结论的通路[4]。应用公式时，只需将其与待解决问题进行模式识别，按照既定规则和程序操作即可[4]。

尽管公式教学环节简明，有规可循，但这主要是基于知识本位的教育立场分析公式教学的特征，忽视了学生主体和素养本位的教育立场。例如，公式同化过程中，如果学生没有对学习信息进行主动的筛选、比较、价值评判，就有可能导致机械学习[4]。又如在公式证明中，若学生无法建立知识间的关联结点，或结点之间的联线长、关联强度弱，则无法形成证明通路。而应用公式时，公式并非总与问题情景完美匹配，很多时候需要对公式或问题进行系列转换。这显然不是简单的程序操作，需要抽象理解、推理运算，甚至还包含“顿悟”的灵感。所以，要使公式表象进入长时记忆进而形成体系，内化为系统逻辑结构和优秀思维品质，显然需要进行深入的教学思考。

二、公式教学的现状分析

知识立场和教学习惯倾向受教育价值观的影响。从长期以来的课堂教学实践来看，教师的教育价值观主要受到两个方面的影响：首先，以升学率为指挥棒的价值取向使得教育走向功利。社会、学校、家长对分数和名校的追逐，忽视了教育的本真意义和价值。其次，受“工具逻辑”的影响，人们发展学生素养的同时也在一定程度上为学生设定了一个成人视域下的目标，就好比将学生的培养放在了“预定轨道”，结果是压抑了人的生态成长[6]。这就导致了公式教学发展的两种倾向：第一，公式教学陷入“一背二套三应用”的模式。重视公式表层的符号语言和结构特征，较少关注公式的背景和形成过程;追求公式证明的多解和奇解，忽略对思想方法深度和广度的挖掘;热衷于公式的变形和应用，缺乏系统梳理逻辑依据和价值意义;过分强调教师讲授，忽视学生的参与体验。第二，课堂教学流于形式，缺乏深度。所谓一些活动丰富的课堂，无非就是根据教师臆想的难点、预设的环节按部就班，又或是个别优等生的独角戏。

因此，为摆脱功利应试下题海战术的“束缚”，走出应试教育的“牢笼”，促使公式学习与学生核心素养发展的“相遇”，探索如下“三线四环节”公式教学模式，使学生能够充分参与到知识的学习中来，并成为知识的发现者、拥有者和贡献者。

三、“三线四环节”公式教学模式内涵及环节分析

1.模式内涵分析

喻平教授认为，知识的理解、知识的迁移、知识的创新是数学核心素养的三级表现形态[7]。对应到公式教学，关键是解决两个层面的问题：知识理解层面，如何把握公式的本质内涵和系统逻辑结构、如何挖掘资源促进知识的创造和思维的创新;教学操作层面，如何触发学生内源性学习目标和动力，如何提供学生独立思考和对话协作的空间平台。基于此，构建了如图1所示的“三线四环节”公式教学模式。其中，“四环节”按顺序分别是课前探究、成果展示、自评互评、迁移拓展。“三线”是围绕四环节发展的三条“暗线”，即学线、教线、问题线。具体来讲，以“课前探究”作为学生自主学习、深度思考的时空保障，以“成果展示”作为沟通对话、协作互助的交流平台，以“自评互评”作为学会反思，学会改进的长效机制，以“迁移拓展”作为形成能力，提升素养的价值体现。这四环节并非将教学割裂孤立，四环节之间有着深度的内在关联，而联系枢纽就是围绕公式内化、整合、外化而形成的“问题线”，围绕“学什么”“怎么学”所形成的“学线”，还有围绕“教什么”“怎么教”所形成的“教线”。“三线”中，又以“学线”为主体，“问题线”为核心，“教线”为主导，“教线”通过“问题线”作用于“学线”，又服务于“学线”，“学线”通过“问题线”反馈“教线”，又改进“教线”[8]，三者相依相存，支撑四环节的展开与深入，使得整个教学成为一个有机的整体。

2.模式各环节分析

（1）课前探究

章建跃博士指出：“学习归根到底是自己的事情，让学生掌握数学学习方法，学会思考，进而学会学习，这是数学教学的最高境界。”[9]然而，受限于教学时间和进度安排，很多时候的公式教学只提供三、五分钟的课堂探究，学生显然无法深入思考，教师也无法了解真实学情。因此，对于公式教学，可以安排学生课前思考。这一环节并非简单预习，学生需明确学习任务，经历思维冲突，探索解决方法，而这些体验正是思维发展的摇篮，是教师无法替代和传授的。同时，这一环节是让学生“学然后知不足”的重要途径，让教师“教然后知困”的有力手段，是教学返璞归真，有的放矢的必备基础。当然，为落实这一环节，教师应把握目标性、启发性、量力性、循序渐进性等原则，精心设计探究任务，确保探究任务的有效、可行性。

课程教学改革所倡导的“学生为主体”的理念已被广大教师接受，但在尊重学生主体地位的同时，往往容易忽略“教师主导”。课前探究并非是让学生“天马行空”的思索，而是积极发挥教师的主导作用，围绕教学目标，结合数学学科的逻辑结构，考虑学生的身心发展規律，有目的、有计划地设计学习任务，以此给学生创造有意义的思考空间。在“三角函数的诱导公式”的学习中，“复习”是基于学生的“最近发展区”，通过类比终边相同角的三角函数性质的学习，为诱导公式的系统化做铺垫。

（2）成果展示

成果展示环节鼓励学生“大声思维”，展示思维过程，表达观点态度。这对培养学生形成“善表达”的意识和生成“批判学”的科学精神有着积极的作用。当然，为保障学生清晰准确地表达观点，教师有针对性地评价和组织讨论，需要教师在课前批阅学生的课前探究作业，了解学生想法、厘清学生错误、思索学生疑惑，并以学生的认知基础为起点，设计教学方案，引导学生建立新旧知识间实质性的联系，促进有意义学习的发生。这正如奥苏贝尔所强调的：“影响学习的唯一重要因素就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应以此进行教学。”同时，教师要根据学生作业情况对全班进行分组，引导小组合作学习。心理学家温勒的群体动力理论认为，在群体中，只要有别人在场，一个人的思想行为就同他单独一个人时有所不同，会受到其他人的影响。协作学习中，学生通过相互磋商，不断启发思维，导向深知。

在成果展示环节，教师先针对全班梳理问题，展示典型解决方式;再由各组代表分别汇报小组成果，同时提出问题或困惑。学生代表发言时，其他学生倾听，记录，并积极思考、讨论、补充、完善。这一期间，如果学生讲解不对或深度不够，教师可进行及时的纠正、点拨。最后由教师总结各组发言，并给出解决疑惑、改进优化的思路或操作。整个过程，围绕解“学生之所疑”，释“学生之所惑”而不断深入，伴随着师生间想法的欣赏和认同、观点的冲突与争鸣，学生并非被老师的问题牵着走，老师也不会因学生的发言而失去调控。

例如在学习“正整数平方和公式”时，学生通过对公式证法的交流展示，一方面深刻体会到公式的丰富内涵：数量关系上研究了数列的前n项和;空间形式上蕴含了“正方形数”、“三角形数”及其关系;推理方法上既有归纳类比的合情推理，又有分析综合的演绎推理，具体涉及公式法、分组求和、裂项相消等多种数列求和方法，渗透整体、对称和模型思想。另一方面发展了数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养。尽管交流展示中有解答的困惑、方向的迷茫，但学生在分享对话中实现着知识意义的建构，在困难挑战中超越了自我。

（3）自评互评

学习评价不但是及时了解学生学习质量的重要手段和途径，也是学生学习的重要内容和策略，是学习活动不可或缺的组成部分[10]。斯塔弗尔比姆指出：“评价最重要的意图不是为了证明，而是为了改进。”斯蒂金斯也认为：“如果评价不能在日常的课堂实践中有效地运行，那么其他层面的评价完全是浪费时间和金钱。”展开课堂学习评价就是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学[2]。

评价中应注意把握几个关键：保证评价主体的多元化、重视评价目标的多维化、关注评价内容的多样化。首先，改变教师单一评价的方式，提倡学生自我评价、组内及全班同学互相评价、教师评定等共同参与的评价方式。这样既保证了学生的主体地位，也促进了生生、师生间的沟通融合。其次，摒弃“只重结果，不看过程”的单一评价目标，即不能只关注数学学习水平与结果，也要关注学生在课前探究及成果展示中所表现出来的情感、态度和价值观，让评价成为学生有益的经历。比如，关注学生学习数学的激情，肯定学生不畏挫折的勇气。最后，评价内容不仅要涉及学生解决问题过程中所反映出的知识和技能，也要关注学生在问题解决、数学思考、数学交流等方面的体验，比如赞赏学生为解决问题所展示的独特数学思维，评价学生数学语言的运用水平等等。总的说来，评价既是对前面环节的总结和反思，也是对后续环节的预测和调控，它帮助学生认识自我、悦纳自我，并增强自我监控、调整意识，这对提高学生元认知水平具有积极意义。

（4）迁移拓展

迁移是一种学习对另一种学习的影响[4]，拓展是在此影响的基础上，认知和经验所发生的质的变化.如果说前几个阶段是对公式学习的准备阶段，那迁移则是提高认知、积累经验的起步阶段，而拓展就是充实和完善个体认知结构的深化阶段。对数学公式的迁移拓展并非是简单的规则套用和程序操作，也并非只是围绕公式的文本拓展，它是知识方法体系的建构，是数学思维活动的扩张，是数学能力发展的归宿。郑毓信教授指出：“数学核心素养的基本含义就在于：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能使它们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”基于此，可考虑以下几个层次的迁移拓展。

首先，组织学生总结反思。这是提高学习效率、学会学习的重要策略[10]。它不仅帮助学生了解公式的来源与背景、把握公式的本质与规律、领悟推证的思想与方法，更为学生形成稳定的公式体系奠定基础。拉卡托斯就曾指出：一个命题的确认，是经过了反复的猜想和批评、证明与反驳而逐渐发展形成的[11]。其次，围绕教材内容展开拓展。教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师教和学生学的载体[12]。对教材部分例题、习题的变式、推广、改编，形成问题系列，对增强学生在解决问题中的模式识别、策略选择、激活扩散等信息加工能力有深远影响[4]。最后，引导学生课后探究。教学永远是一门缺憾的艺术，短暂的课堂时间无法满足数学爱好者对知识的渴望和追求。鼓励学生课后多元表征公式、探究多种证明推导方法，多视角变式推广公式，以此挖掘学生潜力，培养学生的创新思维和批判精神。正如弗莱登塔尔所说：“即使是儿童，也已经具有某种‘潜在的发现能力，它们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征。”

四、结束语

核心素养概念是对“教育应该培养什么样的人”的具体回答[13]。事实上，在关注人的素养发展、推进人的素养发展与时代发展需求相融合的进程中，“怎样培养人”比“培养怎样的人”更重要，“怎么教”“怎么学”比“教什么”“学什么”更重要[6]。这正如毕达哥拉斯所说，在数学的天地里，重要的不是我们知道了什么，而是我们怎么知道什么。“三线四环节”公式教学模式通过各环节问题驱动，将对公式学习的内容问题化，情境化，并利用课前独立思考、课中学生协作、师生对话、课后迁移拓展等途径实现了知识学习途径的翻转，充分肯定了学生学习的主体地位，发挥了教师是学生学习的组织者、引导者、合作者的角色功能，不仅使得学生获得了知识技能，更重要的是，帮助他们学会了学习、学会了思考、学会了接纳共处、学会了反思总结、学会了创新创造，这对提高学生的元认知水平，发展可持续的学习能力，具有重要的意义。在课程改革不断深入的今天，如何由“素养关怀”走向“教学关怀”，让核心素养的培养生根落地并转化为课堂教学行动力，如何由“知识为本”转向“学生为本”，将学科知识价值真正内化为学生学科核心素养，还期待更多的理论探讨和教学实践积累。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 余文森.从三位目标走向核心素养[J].华东师范大学学报：教育科学版，2016，34（01）.

[3] 李松林.培育学科核心素养的三个教学问题[J].教育科学研究，2017（08）.

[4] 喻平.數学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

[5] 郭元祥.知识的性质、结构与深度教学[J].课程·教材·教法，2009，29（11）.

[6] 闫守轩，张铭芳.从“素养关怀”到“教学关怀”：教学改革的回归与深化[J].课程·教材·教法，2019，39（05）.

[7] 喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017，26（02）.

[8] 王富英，王新民.“三线五环节”课堂教与学活动模式[J].中学数学杂志（初中），2005（04）.

[9] 章建跃.探索数学教学规律，提高教师专业水平[J].中国数学教育，2012（01）.

[10] 王新民.数学学习设计概论[M].北京：高等教育出版社，2018.

[11] 李士锜.PME：数学教育心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2001.