欧阳亮 胡典顺

摘    要：LFSTM体现中学数学问题解决技能、方法之间的联系. LFSTM为中学数学解题等价辅助链的产生提供了方向，同时也为数学方法、数学思维和数学课程的“凝聚”带来契机.当然，这些“凝聚”是以思维的“凝聚”为中心，方法和课程的“凝聚”是为了更好地落实思维的“凝聚”.

关键词：LFSTM;方法;思维;课程;凝聚

现阶段课程体系包含国家课程、地方课程和校本课程，地方课程和校本课程是对国家课程的补充和完善.虽然地方课程和校本课程在设置和选择上有较强的自主性，但教育教学活动依然是以学科知识、方法、技能为主，学科思维为辅.这种教育教学活动重在知识学习的系统性、完整性和严谨性，有助于学生系统地掌握知识，实现“双基”目标，虽然在教育中也渗透着对数学思维的培养，但关注程度依然不够.张景斌、王尚志[1]指出数学教育本质上是理性思维的教育.本文基于LFSTM的数学课堂“凝聚”，除了关注学生“双基”“六能”的培养外，还注重学生数学思维的建构.

一、LFSTM的分析

（一）中学数学解题的LFSTM模式

把数学解题过程中，指引等价辅助题目链朝着元素化少、化熟和化同的方向进行变换的思维模式称作“少熟同思维模式” （Less-Familiar-Same Thinking Model），即LFSTM[2]. LFSTM为中学数学解题等价辅助题目链的产生提供方向.

（二）LFSTM为课堂的转变带来契机

1.LFSTM体现知识模块间思维习惯的异同，实现不同模块知识之间思维习惯的整合，达到“牵一发而动全身”的效果

传统的数学思想方法严谨而系统，但在问题解决的靶向上缺乏指导，从而导致很多学生在习得知识与技能后，不会应用于实践，不会灵活地分析和解决问题.这和传统教育教学活动主要是按知识、方法和技能开展的有关，这样的方式让学生往往缺少对各种知识、方法、技能之间联系的感知，造成整体思维的割裂.学习是存在迁移的，迁移产生一部分是由于思维能力的提高，而另一部分是由于各种知识、方法和技能之间存在思维的相似性，这种相似性的发现有利于学生对新知识、新方法和新技能的习得以及思维、知识体系网络化的形成.

2.LFSTM回答了数学问题解决活动中的“为什么”，实现对两个“为什么”的明确合理的阐述

现在绝大部分教师在教学中往往对“为什么”没有做出合理的解释，对学生数学元认知和批判性思维的培养有所欠缺，特别是在解决比较复杂的问题上.比如，该问题“为什么”要这样分析和处理？“为什么”要形成这样的思维习惯？“为什么”其他思维方式不合适？等等.这些“为什么”的合理解决恰恰是教师素养和素质的体现.

“为什么”问题要这么解决？“为什么”问题不这么解决就不可以？这两个“为什么”从元认知和批判性思维的角度给出，是数学思维培养的关键点.比如，“为什么”问题要这么解决，是因为前提、背景的原因，还是结论、目标的原因，还是具体思维习惯的原因，还是知识本身发展规律的原因等.这些原因的弄清是一个很有意思的过程，会给学生带来成就感，激发对数学学习的兴趣.

3.知识来源于生活，LFSTM是对生活的提炼、抽象和总结

教师的教育教学要融入生活的元素.这些元素不单单是生活的实例或以生活为背景，更重要的是生活与知识在思维习惯上的融合（比如，生活中我们如何思考解决一个棘手的问题？而在学科问题上是否也有相同的思维习惯？）.但这恰恰就是现在教育教学中缺少的一个环节，因为这个环节的缺少导致很多学生觉得学习是枯燥的、无聊的.

数学源于生活，数学的思想方法也源于生活.生活中我们解决问题总是喜欢简洁简单的处理方式，喜欢应用自己熟悉的处理方法.数学的思维模式也是如此.对于高中学生来说什么是容易解决的数学问题？答案是一定的：未知数少、参变量少、次幂少、问题模型熟悉、问题模式相同等.简洁一点说就是要“少”“熟”“同”.所以解决实际生活问题和解决数学问题的思维模式是趋同的.

二、基于LFSTM的课堂实践

我們以高中数学函数值域的求解为例来进行展示、分析和说明.

（一）以“少”解题——案例1：函数值域求法一

（二）以“熟”化归——案例2：函数值域求法二

三、基于LFSTM的数学课堂“凝聚”

（一）数学方法的“凝聚”

1. 案例一课堂分析

在本节课中，教师尽量淡化数学的解题方法，将方法“凝聚”为“化少”，更多地强调数学解题等价辅助题目链的产生是朝着“化少”展开的.在 “化少”的思维引导过程中，自然而然地把传统的思想方法渗透进来，达到“润物细无声”的效果.比如，在求值域的化少过程中，就悄无声息地融入“配方法和分离常量法”，避免了生搬硬套和学生在不理解的情况下死记硬背.

2. 案例二课堂分析

在本节课中，教师采用变式教学，环环相扣，引人入胜.在变式的设计、利用变式开启学生的思维上，紧紧围绕“化熟”来展开.每一变式的思考方向都是指向前面“熟悉”的例题，将方法“凝聚”为“化熟”.而课堂最后的画龙点睛“在生活中，何尝不是如此.我们在处理新事物时，总是参照我们‘熟悉的、‘类似的事物入手，尽量用我们‘熟知的方式方法来解决”更是将生活与数学相融.由此，让学生从生活中深刻领悟“化归”思想，以达到熟练应用的目的.

（二）数学思维的“凝聚”

1.以“少”为中心的“凝聚”

课堂上，在教师的启发、引导下，学生的学习激情被点燃，思维逐渐深入，拾级而上，最后对问题解决的“画龙点睛”让思维“返璞归真”.如案例1，问题设置[x]的个数逐渐增多，师生互动紧紧围绕如何将[x]的个数变“少”而展开，中心目的明确，但思维强度逐渐增加.围绕变“少”这个核心，让思维发散，但“散（sàn）而不散（sǎn）”，特别是“大家回想下我们生活中处理问题的时候，是不是也是寻找‘最简洁的处理方式，而‘最简洁何尝不是‘少呢？”让生活和数学趋同，让数学问题解决的思维“返璞归真”.

2.以“熟”为中心的“凝聚”

课堂中教师提问能有效激发和维持学生的思维，并实现思维的“凝聚”.教师根据关键教学事件设计核心问题串来激发学生的思维[3]，一系列提问的背后蕴藏着学生对问题的深入思考.课堂上师生之间是朋友，大家热烈地讨论，相互“质问”，思维在碰撞与交锋中升华.如案例2，问题串“[y=3x2-2x+1x2]→[y=xx2+x+1]→[y=x+1x2+x+1]→[y=x2+1x2+x+1]→[y=x2x2+x+1]→[y=2x2+1x2+2x+1]”的设计将前一个问题作为后一个问题的“熟悉”的范例，让学生在问题解决的过程中体会如何将“陌生”问题转化为“熟悉”范例.而“[y=x2x2+x+1]”所产生的解题方法分歧与思维碰撞，让学生的思维得到升华.一句“大家可以发现分子和分母中，只要有一個化成单项式后，函数的值域就好求了！”点出问题串最“熟悉”的范例，展示问题串“万变不离其宗”的本质，让思维得到“凝聚”，这种“凝聚”实现思维从“过程”向“对象”的转化.郑毓信[4]指出数学的不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成一个对象.案例中基于问题串的教学行为引导学生由解决问题的“过程”开始，经过问题变化，使得“过程”得到强化，最终形成学生个体心理图式中的“对象”.思维的“凝聚”过程，涉及学生个体的认知调节，包括计划、检查、监测、修改、评价等，让学生在此过程中体会到元认知策略性思考与调控的重要.

（三）课程内容的“凝聚”

课堂是基于LFSTM设计的，所以课程内容在落实课程标准的同时对课程内容进行了重新调整.这种调整包括课程内容顺序上的调整和分类的调整.比如在函数值域教学内容的安排上，是以LFSTM为顺序对内容进行编排的，依次讲解化“少”和化“熟”，这与以往的以问题解决方法为顺序编排的教学内容不相同.以问题解决方法为顺序编排的教学内容没有体现方法之间的联系，没有揭示思维的本质.比如求值域的配方法、分离常量法、辅助角公式、换元法等在以往的课程安排中都是独立的，问题解决方法之间没有联系，但是在LFSTM下，这些方法都可以划归到化“少”的范畴.由于在LFSTM基础上设计的课程不再完全按照问题解决的方法来对内容进行划分，所以内容的分类也进行了相应的调整.这种调整就是由以方法为依据进行的课程内容分类变为了以LFSTM为依据的分类.以LFSTM为依据的分类在体现原有问题解决方法的同时，重点强调方法的异同和联系，并从思维模式上对这些方法进行原理分析，从思维上对课程内容进行重新“凝聚”.

通过案例的展示和分析，我们发现LFSTM体现中学数学问题解决技能、方法之间的联系，有利于学生对数学的整体理解和掌握，有利于思维的“凝聚”，有利于建构学生个体的数学心理图式，也有利于在问题解决过程中对个体心理图式中概念、知识和方法的提取.LFSTM为中学数学解题等价辅助链的产生提供了方向，同时也为数学方法、数学思维和数学课程的“凝聚”带来契机.当然，这些“凝聚”是以思维的“凝聚”为中心，方法和课程的“凝聚”是为了更好地落实思维的“凝聚”.

参考文献：

[1]张景斌，王尚志.中学数学建模活动为中学生创造发展空间[J].数学教育学报， 2001（2）：11-15.

[2]欧阳亮，胡典顺，张玉环.中学数学解题的LFSTM模式[J].教学月刊·中学版（教学参考），2019（4）：43-45.

[3]曹一鸣，王振平.基于学生数学关键能力发展的教学改进研究[J].教育科学研究， 2018（3）：61-65.

[4]郑毓信.数学思维与小学数学教学[J].课程·教材·教法， 2004（4）：28-32.