文 南京师范大学第二附属初级中学八（9）班 徐春阳 魏诗茹

等腰三角形“三线合一”的性质为我们解决问题提供了一个添加辅助线的方向。下面结合一道题目和大家谈谈我们的体会。

【问题情境】如图1，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点。若过点D作DM⊥DN，DM、DN分别交AB、AC于点M、N，求证：DM=DN。

该题欲证DM=DN，则需构造全等三角形，连接AD，证明△AMD≌△CND即可。

【举一反三】如图2，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，P是BC上任意一点，且四边形PEAF是长方形。求证：DE=DF。

解答该题仍需连接AD，证明△BED≌△AFD即可。

【感悟】对于已知底边中点的等腰三角形问题，根据“三线合一”，连接顶点和底边中点是常见的辅助线作法，以此为基础，可以证明线段相等、直线垂直或角相等。我们再看一题：

如图3，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。

方法一：过点A作AM⊥BC于点M，∵AB=AC，AD=AE，∴根据“三线合一”得：BM=CM，DM=EM，∴BM-DM=CM-EM，即BD=CE。

方法二：过点A作∠BAC的平分线AM交BC于点M，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，此时回到了方法一。

方法三：取BC的中点M，连接AM，∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，此时又回到了方法一。

【感悟】“三线合一”的功能在本题中得到完美展现。所作辅助线看上去是同一条线，但表述不同、含义不同，证明过程就略有区别。本题虽然也可以通过三角形全等来证明，但它“绕路”了。

教师点评

小作者在解决等腰三角形问题时，通过观察、思考、实践得到感悟，发现从等腰三角形“三线合一”出发添加辅助线的方法：当有底边有中点时，连接顶点和中点；当无底边中点条件时，有时要“构造”底边中线（底边上的高、顶角平分线）。解题时有了这样一种“条件反射”，数学思维就迅捷、连贯，这样的品质难能可贵。