卢亚楠，毛军军,b,*，张晓珍

(安徽大学a.数学科学学院，b.计算机智能与信号处理教育部重点实验室，安徽 合肥 230039)

0 引 言

L.A.Zadeh[1]于2011年在传统模糊集的基础上提出了Z-number的概念，其中Z=(A，B),其中A是对事件的模糊限制,B是A的可靠性。这两个部分都可以用自然语言来表示，如想要度量明天是否为晴天时，可以给出是晴天的可靠性时非常确定,那么这个Z-number就可以写为Z=(晴天，非常确定)。云模型的概念是李院士于1995年提出的，是处理定性语言值和定量数值的不确定转换模型[3]。云模型可以用期望、熵、超熵来描述。期望是云滴属于论述定性概念的数学期望；熵表示定性概念的模糊性和随机性，反映了云滴分散程度；超熵度量了熵的不确定性，决定了云的厚度。因为语言型Z-number可以由自然语言描述，而云模型可以将定性语言值转化为定量数值，所以文献[2]将语言型Z-number的两个部分A和B用不同的语言尺度函数转化为云，定义了正态Z+值和相关的运算及距离公式。ELECTER法(淘汰选择法)是Roy等人在二十世纪六十年代提出的[4]一种基于级别高于关系的多属性决策。本文先介绍了语言术语集合、Z-number、云模型以及正态Z+值等相关定义，再定义了正态Z+值比较大小的方法，基于文献[2]的正态Z+值的距离公式，用ELECTER法针对属性权重未知的情况，结合文献[5]的方法用净优势值对方案进行排序。最后，通过实例分析说明该方法的可行性。

1 预备知识

定义1[2](语言术语集合)设S={si|i=0,1,...,2t}是一个具有奇数个有限且完全有序离散语言型数语的集合,其中t是一个非负整数,si(i=0,1,...,2t)表示的是一个语言型变量的可能值。并且对于任意两个语言型变量si和sj,它们满足如下三个性质：

(1) 语言术语集合S中的语言型变量是有序的，且对于任意的si和sj，当sisj，当且仅当ij；

(2)当sisj时，max(si,sj)=sj，min(si,sj)=si；

(3) 集合中的语言型变量满足互补运算：Neg(si)=sj当且仅当i+j=2t。

定义2[2](语言尺度函数)设si∈S是语言术语,θi∈[0,1]是一个数值,那么从si到θi(i=0,1,...,2t)的语言尺度函数H可以被定义为映射：H:si→θi(i=0,1,...,2t)，其中0θ0...θ2t1。H说明了si的语义,而θi反映了决策者选择si时的偏好。语言尺度函数是关于它的下标i严格单调递增的函数。

介绍两种常用的语言尺度函数：

其中a∈[1.36,1.4]。

定义3[2](正态云模型)设U论域,T是论语U上的定性概念。如果x∈U是概念T的一个随机实现,满足：x～N(Ex,En′2)，其中En′～N(En,He2),且x属于T的确信度y是一个隶属分布,满足：

则称x在U上的分布叫做正态云分布,(x,y)叫做云滴。云模型用期望(Ex)、熵(En)、超熵(He)三个数字特征来描述。云用C=(Ex,En,He)来表示。

下面通过“3σ原则”将语言型Z-number转化为云模型。设si是集合S语言术语，则可以通过以下的步骤产生云C=(Ex,En,He)：

(1)用语言尺度函数计算θi=H1(Si)

(2)计算Exi

设有效区间为U=[Xmin,Xmax]，则Exi=Xmin+θi(Xmax-Xmin)。

(3)计算Eni

设(x,y)是云滴，则x～N(Ex,En′2)。根据“3σ原则”得3Eni′=max{Xmax-Exi,Exi-Xmin}。因为En′～N(En,He2)，所以Eni可以看作是Eni′和相邻的Eni-1′和Eni+1′的平均值。因此我们可以得到Eni=(Eni-1′+Eni′+Eni+1′)/3，对于i=1,...,2t-1，En0=(En0′+En1′)/2，En2t=(En2t-1′+En2t′)/2。

(4) 计算Hei

因为En′～N(En,He2),根据“3σ原则”得到：Hei={max[max(Eni′)-Eni,Eni-min(Eni′)]}/3

定义4[1](Z-number)假设X是一个实值不确定变量,那么关于X的模糊数的有序数对被定义Z-number,写作Z=(A,B)。其中A是X可以取值的模糊限制,B是A的可靠性，这两个成分都可以用自然语言来表示。

定义5[2](正态Z+值)设S={s0,s1,...,s2l}，S′={s0′,s1′,...,s2r′}是两个有限并且完全有序的离散的有语言术语集合,其基数为奇数。其中S和S′表示不同的语义情况,l,r∈N*。用语言型变量表示的Z-number记作Z=(si,si′),其中si∈S,si′∈S′。si和si′都可以使用正态云模型。相应的数值特征可以转化为(μi,σi)和(exi,eni,hei),此可以定义一个正态Z+值，记作NZ=((μi,σi),(exi,eni,hei))。

例：假设S={s0=极度贫穷,s1=很贫穷,s2=比较贫穷,s3=中等,s4=比较好,s5=很好,s6=极好}是语言术语集合,是评价对象的模糊限制。S′={s0′=很不确定,s1′=不确定,s2′=稍微不确定,s3′=中立,s4′=稍微确定,s5′=确定,s6′=很确定} 是语言术语集合，是已给模糊限制的可靠程度。如果z=(s3,s6′)是一个Z-number，U=[0,5]是一个有效区间。那么z=(s3,s6′)可以通过上面的步骤转化为正态Z+值,因为S和S′表示不同的语义,所以用两种不同的语言尺度函数进行转换。计算过程如下：

(1) 用语言尺度函数计算θi=H1(si)可得θ0=0,θ1=0.17,θ2=0.33,θ3=0.50,θ4=0.67,θ5=0.83,θ6=1。

(2) 计算μi

已知有效区间为U=[Xmin,Xmax]=[0,5],通过μi=Xmin+θi(Xmax-Xmin)得到μ0=0,μ1=0.83,μ2=1.67,μ3=2.5,μ4=3.33,μ5=4.17,μ6=5。

(3)计算σ3

由3σi′=max{Xmax-μi,μi-Xmin}计算可得σ2′=1.11,σ3′=0.83,σ4′=1.11。所以σ3=(σ2′+σ3′+σ4′)/3=1.02。

(4) 用语言尺度函数计算θi′=H2(si′)可得：θ0′=0,θ1′=0.22,θ2′=0.38,θ3′=0.50,θ4′=0.62,θ5′=0.78,θ6′=1。

(5)计算Exi

Ex0=0,Ex1=1.10,Ex2=1.91,Ex3=2.50,Ex4=3.09,Ex5=3.90,Ex6=5。

(6) 计算Eni

计算可得En0′=1.67，En1′=1.30，En2′=1.03，En3′=0.83，En4′=1.03，En5′=1.30，En6′=1.67,则En6=(En5′+En6′)/2=1.48。

(7) 计算Hei

He6={max[max(Eni′)-En6,En6-min(Eni′)]}/3=0.22，因此,z=(s3,s6′)可以通过上面的步骤转化为正态Z+值NZ={(2.5,1.02),(5.00,1.48,0.22)}。

2 正态Z+值的比较方法

首先定义正态Z+值的广义加权平均聚合运算。

进一步地,根据参考文献[1]中的正态Z+值的运算,可以得到其计算规则为：

(1)

性质1(幂等性)如果所有的zi都是相等的,则对任意的i=1,2,...,n,GNZPWA(z1,z2,...,zn)=z

性质2(交换性)如果(z1′,z2′,...,zn′)是(z1,z2,...,zn)的任何一个排列。若zi的权重是不相关的,那么可得到GNZPWA(z1,z2,...,zn)=GNZPWA(z1′,z2′,...,zn′)

其次定义比较正态Z+值的方法。

定义7：设z1,z2是任意两个正态Z+值,zi=((μi,σi),(exi,eni,hei))i=1,2。

若μ1>μ2,则NZ1≻NZ2；

若μ1=μ2则分以下两种情况：

(1)若ex1>ex2,NZ1≻NZ2

(2)若ex1=ex2,则NZ1≅NZ2。

3 基于ELECTER的正态Z+值的多属性群决策方法

步骤1：将Z值转化为正态Z+值

有效区间为U=[0,5]，将表1，表2和表3转化为正态Z+值表1，表2和表3(表2、表3略)。

表1

表2

表3

正态Z+值表1

步骤2：给定每个决策者的权重为vk=(1/3,1/3,1/3)

步骤3：确定属性权重

ω1=(0.2921,0.3029,0.2603,0.1446)

ω2=(0.2179,0.3811,0.1750,0.2260)

ω3=(0.2477,0.2394,0.2216,0.2913)

步骤4：确定综合属性权重

步骤5：根据公式(1)获得集成评价信息：

步骤6：和谐性矩阵C=(cik)和不和谐性矩阵D=(dik)。

将方案成对比较，且将属性下标集J={j|j=1,2,...,n}分为两类，一类是一致集Cik(包含和谐集、不和谐集)，另一类是矛盾集Dik(无差异集)。J+(xi,xj)={j|1jn,NZj(xi)>(≅)NZj(xj)}}Dik(xi,xj)={j|1jn,NZj(xi)

通过比较得到下表：

一致集Cik和矛盾集Dik(CikDik)

步骤7：排序

净优势值为N1=-0.417，N2=0.4537，N3=0.3277，N4=-0.3644，按净优势值的排序为a2≻a3≻a4≻a1。

4 结 语

针对将Z-number和正态云模型结合得到的正态Z+值，通过定义的公式(1)聚合三位决策人员的决策信息，并用偏差最大化确定属性权重进而得到综合属性权重。再通过先比较正态Z+值中第一部分的期望值再比较第二部分期望值得到比较正态Z+值的方法。通过比较正态Z+值的方法得到一致集和矛盾集，进而得到和谐矩阵和不和谐矩阵，最后用净优势值对方案进行排序，从而得到可靠的决策依据。