二次函数
2020-10-28
考点、易混易错点解读
考点：二次函数的图象与性质，用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数与其他知识的综合应用，主要以二次函数图象上的动点为背景，探究线段长度、三角形面积、满足条件的线段关系、特殊三角形或特殊四边形或简单平面图形的周长.
易混易错点：用待定系数法确定函数解析式时，计算出错是中考失分的原因之一.在二次函数的综合问题中探究满足条件的点的坐标时，分类讨论不完整是一个失分点.
高频考点例题点拨
高频考点1 二次函数的图象与性质
例1 （2019.成都）如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0）.下列结论正确的是（
）.
A.c<0
B.b2-4ac<0
C.a-b+c<0
D.图象的对称轴是直线x=3
点拨：解决有关二次函数的图象与性质的问题时，要有数形结合研究问题的意识.二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c这三个参数决定了二次函数图象的位置、对称轴等，有时为解决问题方便，需要用到二次函数解析式的顶点式或交点式.
例2 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图2所示，有下列结论：①抛物线过原点，②4a+b+c=0.③a-b+c<0.④抛物线的顶点坐标为（2，b）.⑤当x<2时，y随x的增大而增大.其中结论正确的是（
）.
A.①②③
B.③④⑤
C.①②④
D.①④⑤
点拨：对于一些比较复杂的有关二次函数解析式字母系数的结论的辨析这类问题，可依题意作适当的代换变形.也可以遵循“一造二看三推断”的步骤，先给x赋值，代入函数关系式中，使其出现所要判定的式子，再结合图形，观察x取该值时），的取值情况，得出结论.
例3 （2019.兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（
）.
A.2>y1>y2
B.2>y2>y1
C.y1>y2>2
D.y2>y1>2
解析：抛物线y=一（x+1）2+2的对称轴为直线x=-1，开口向下，
当x>-1时，），随x的增大而减小.因为-1<1<2，所以y1>y2.
顶点坐标为（-1，2），所以y最大=2，所以2>y1>y2.
选A.
点拨：此题单独考查了二次函数的增减性.解决这类问题，一般方法是判断这两个点在对称轴同侧还是异侧.如果在对称轴同侧，可直接利用增减性比较函数值的大小;如果在对称轴异侧，要利用抛物线的对称性转化为同侧，再进行函数值的大小比较，如果能结合题意画出大致图象，利用图象的直观性比较，更方便快捷，
高频考点2 用待定系数法确定二次函数解析式
例4（2019.河南）已知拋物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（
）.
A.-2
B.-4
C.2
D.4
解析：抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点，可知抛物线的对称轴为直线x=1.可得b=2.
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+4.
将（-2，n）代入抛物线解析式，可求得n=-4.选B.
点拨：本题考查二次函数图象上点的坐标特征.利用抛物线的对称性是解决问题的关键.
高频考点3抛物线的对称性
例5 如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（一1，0），与y轴的交点B在点（0，2）与点（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2.有下列结论：①abc<0;②9a+3b+c>0;③若点M（1/2，y1）、点N（5/2，y2）是函数图象上的两点，则y1
（
）.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：根据二次函数的图象与系数的关系即可得到答案.
由开口方向可知a<0.
由对称轴x=一b/2a=2>0，可知b>0.
由抛物线与y轴的交点可知c>0，故abc<
例6如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）.
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式.
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一个点M，使点M到点A的距离与点M到点C的距离之和最小，求出点M的坐标.
解析： （1）根据题意可求出点B的坐标为（-3，0），将点B、点C的坐标代人y=mx+n，可得m=1.n=3.
∴直线BC的解析式为y=x+3.
将A（1，0）和C（O，3）的坐标代人y=ax2+bx+c，得a+b+c=0 .c=3.结合一b/2a=一1，可得a=一1，b=-2.
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
（2）∵点M在抛物线的对称轴上，
∴点M到点B的距离与点M到点A的距离相等.故MA +MC=MB+MC.
要使MB+MC的值最小，使点B、M、C共线即可，即对称轴与直线BC的交点处就是所求的点M的位置.
把x=-1代人y=x+3，得y=2.
∴当点M到点A的距离与点M到点C的距离之和最小时，点M的坐标为（-1，2）.
点拨：在解决第（2）问时，充分利用了点A、B是一组对称点这一特征，简捷地解决了问题.
高频考点4抛物线的几何变换
例7如图5，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）.若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P（2，-2），点A的对应点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为___ .
解析：如图6，连接AP，A'P，，过点A作AD上PP于点D，由题意可得AP//AP.AP=A'P.
∴ 四边形A PP'A 7是平行四边形，且S阴影部分=S□APP.A.
∵原抛物线的顶点为P（-2，2），与），轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P（2，-2）处，
点拨：抛物线平移前后的形状相同，据此可将抛物线在平移过程中产生的一些不规则图形通过割补法转化为规则图形，从而求出其面积，
例8在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线所对应的函数关系式为（
）.
点拨：（1）关于x轴对称的两个抛物线有如下关系：①开口方向相反，开口大小相同，故两抛物线解析式的二次项系数互为相反数;②两抛物线与y轴的交点关于x轴对称，故两抛物线解析式的常数项互为相反数;③两抛物线对称轴相同，两抛物线解析式的二次项系数互为相反数，所以两抛物线解析式的一次项系数互为相反数.综上可知，关于x轴对称的两抛物线解析式中二次项系数、一次项系数、常数项分别互为相反数.
（2）关于y轴对称的两个抛物线有如下关系：①开口方向与开口大小相同，故两抛物线解析式的二次项系数相同;②两抛物线与y轴的交点相同，故两抛物线解析式的常数项相同;③两抛物线对称轴关于y轴对称，又因为两抛物线解析式的二次项系数相同，所以两抛物线解析式的一次项系数互为相反数.
高频考点5 二次函数的最值问题
例9如图7.用长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10 m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的宽AB为xm，面积为S m2.
（1）求S与x的函数关系式.
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积;如果不能，请说明理由.为14/3m时，花圃最大面积为46 2/3 m2.
点拨：由此例不难发现，一些实际问题的最值不能在抛物线的顶点处取得.
高频考点6 二次函数与其他知识的综合应用
例10（2019.成都）如图8，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，5），与x轴相交于B（一1，0），C（3，0）两点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC，D.若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标.
解析 （1）方法一：把三点坐标代人抛物线解析式，可求得a=1，b=-2，c=-3，故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
方法二：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），把（-2，5）代人，可得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3.
（2）根据抛物线经过B（一1，0），C（3，0），可得对称轴为直线x=1.
设抛物线的对称轴与x轴交于点日，则点日的坐标为（1，0），BH=2.
由轴对称的性质可得BC'=BC：4.
點拨：第（1）问中用第二种方法求抛物线解析式较简便.第（2）问综合考查了二次函数、轴对称性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，综合性较强，解答的关键是由轴对称的性质找出各线段之间的数量关系，然后解直角三角形，
中考命题预测
1.如图9，二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中00;③a+2b+4c>0;④4a/b+b/a<—4.正确的个数是（
）.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若二次函数y= |a|x2+bx+c的图象经过点A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（√2，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（
）.
A.y1
B.y1
C.y3
D.y2
3.如图10，北中环桥是太原市的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同、跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连，最高的钢拱（如图10所示，可近似看成二次函数的图象）在同一竖直平面与拱脚所在的水平面相交于A、B两点，拱高为78 m（即最高点0到AB的距离为78 m），跨径为90 m（即AB=90 m）.以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此钢拱所在的抛物线的解析式为（
）。
