刘伟 邱骏达

摘 要：本文将各位专家判断矩阵中的区间数，以二维坐标点集的形式表示出来。运用模拟植物生长算法（PGSA），求解该点集的广义Fermat-Torricelli点——专家群体的最优集结点。从而确定专家综合判断区间数矩阵。通过比较专家判断矩阵与专家综合判断矩阵区间数对应点集的相对偏差，可以逆判出每位专家的评判水平。最后，通过一个算例计算分析，验证了该方法的合理性。

关键词：群决策;多属性;区间数判断矩阵;PGSA;专家评判水平

中图分类号：O151.21  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2020）09-0001-06

0 引言

由于客观世界的不确定性及人类主观思维的模糊性，在决策过程中，有时候难以用精确的数值表示偏好信息，而只能给出其所属范围，即用区间数来表示决策信息。在群决策过程中，通常需要征询专家小组成员的决策意见，然后通过集结各位专家提供的偏好信息对备选方案进行排序。但是，由于专家在评判过程中所掌握的信息不甚相同，且个人具有不同的决策偏好，所以综合意见很难达成一致。为使群决策结果得到相对一致，往往需要决策者对专家群组意见进行整体协调甚至对专家小组的成员进行调整。在协调过程中，很有必要对评判专家进行反评判，这就是所谓的“逆判”问题[1]。

关于“逆判”问题，近年来已受到多位学者的重视，研究成果颇为丰富。刘万里基于AHP判断矩阵应用统计分析法和模糊分析法对各专家判断矩阵进行了排序，并用Saaty检验一致性方法检验了排序的结果[1，2]。陈岩针对互反判断矩阵提出了一种数理统计的方法进行专家水平的评价和排序，在处理语言判断矩阵和互补判断矩阵问题上，则将这两种判断矩阵转化为互反判断矩阵[3，4]。陈侠等给出了基于互补判断矩阵、语言评价矩阵和区间数决策矩阵的专家水平评判方法[5-9]，陈侠等根据专家判断与理想点之间的贴近度给出了基于理想点法的区间数决策矩阵形式偏好信息的专家评判水平分析方法。夏梅梅等通过对不同专家的判断信息进行整体相似性分析，给出了两种与决策群体意见一致程度最高的理想区间直觉模糊判断矩阵的构造方法[10]。陈岩等分别基于区间语言信息和区间直觉模糊信息，提出了一种相容性的分析方法，计算综合判断矩阵和每个专家给出的判断矩阵之间的相容性指标，这些相容性指标数值的大小可以作为对专家评判水平进行排序的依据[11，12]。唐耀平通过对互补判断矩阵的导出矩阵向量化后进行偏差比较来对评判专家的评判水平进行排序[13]。陈岩等将群决策过程中专家所给出的区间数不确定评价信息转化为互反判断矩阵信息，通过构造一个统计量利用方差来评判专家水平[14]。

综上可以看出，目前针对群决策中如何“逆判”各专家水平这个问题，主要集中在AHP判断矩阵、互补判断矩阵、语言判断矩阵、语言评价矩阵、区间数决策矩阵和直觉模糊判断矩阵，应用的排序方法主要有统计分析法、模糊分析法以及理想矩阵分析法等。但采用这些方法时，普遍存在一个问题，即在将专家判断信息集结成综合评判矩阵的时候，常规采用算术平均、加权平均或者系统聚类等方法，这些方法对于集结那些相对集中的信息，具有较大的优势，但是对于那些距离均值偏离较大的点，集结结果存在较大的偏差。集结专家判断矩阵信息对后续的专家水平排序工作产生至关重要的影响，因此，必须对已有的集结矩阵的方法进行改进。

本文受Fermat-Torricelli问题的启发，基于模拟植物生长算法提出了一种新的判断矩阵集结方法。该方法是将每位专家判断矩阵相对应的区间数以二维坐标点的形式表示出来，坐标点集中的各个坐标点，可以代表每位专家的个人偏好信息。通过模拟植物生长算法的智能寻优，找出距离已知坐标点距离之和最小的点，这个点即是Fermat-Torricelli点，也就是集结各位专家偏好的唯一全局最优集结点，而各最优集结点组成的矩阵也是各位专家判断矩阵的最优集结矩阵。该方法能够在最大程度上考虑各位专家的意见，得到的专家综合判断矩阵能够保证与各位专家的意愿偏差最小，解決了以往大多数学者以平均值体现群决策的综合意愿所出现的不足问题。

1 区间数判断矩阵的规范化

1.1 判断矩阵的规范化

定义1 在多专家多属性群决策过程中，设决策者Ek（k=1，2，…，p）关于方案Si（i=1，2，…，m）在属性Pj（j=1，2，…，n）下的决策值用区间数表示为

aij（k）=[aij-（k），aij+（k）]  （1）

则专家判断矩阵可以表示为

Ak=（aij）m×n  （2）

定义2[15] 多属性决策中的属性一般可以分为效益型和成本型，对判断矩阵Ak=（aij）m×n的每一列元素可按照如下公式进行规范化处理：

wij（k）=aij（k）aij（k），效益型属性（1aij（k））（1aij（k）），成本型属性 （3）

公式（3）可以进一步改写为：

效益型属性：

成本型属性：

.2 专家水平排序

定义4 设wk=（wij）mj）m×n分别为专家Ek与专家群体的区间数规范化判断矩阵，将相异度？啄元素相加得出成p×m矩阵（p为专家人数，m为方案个数），此矩阵即是每个专家的偏好信息和专家群体综合判断信息之间的偏离信息矩阵M。

定义5 设M为专家给出的偏好信息与专家群体综合判断信息的偏离矩阵，则定义M专家Ek给出的判断信息与专家群体综合判断信息的正理想点距离和负理想点距离，rk为专家Ek判断信息与专家群体综合判断信息理想点的贴近度。

由上式可以看出，rk越大，说明专家Ek给出的判断信息与专家群体综合判断信息理想点越贴近，专家的评判水平越高;反之，专家的评判水平则越低。

2 平面点集及最优集结

2.1 平面点集

假设有一个区间数群决策问题，p个专家针对m个备选方案，n个属性给出相应的区间数判断信息，可以看作为由p个平面所构成的点集：

A（r）=

r=1，2，…，p。

2.2 判断矩阵区间数的集结

2.2.1 Fermat-Torricelli问题的引入

早在1634年，数学家费马就提出了一个平面上的数学问题：已知平面上有任意的三个点P1，P2，P3，找出另外的一个点P，使得其到已知三点的距离和最小。这个问题首先由托里策利解决，因此这个P点就被称为“Fermat-Torricelli点”，这个数学问题就被称为“Fermat-Torricelli问题”。

瑞士学者斯坦纳对“Fermat-Torricelli问题”进行了推广[16]：在平面上给出n个点P1，P2，…，Pn，找出一个点P，使得其到已知点的欧式距离|PP1|+|PP2|+…+|PPn|达到最小。这个问题被称为“广义Fermat-Torricelli问题”。

定义6 给定平面上的n个点P1，P2，…，Pn（n≥2），若平面上存在一点P使得D=|PPi|为最小，则称P为P1，P2，…，Pn的广义Fermat-Torricelli点。

2.2.2 专家判断矩阵的集结

定义7 对于具有m个备选方案，n个属性的p个专家判断矩阵区间数，存在着广义Fermat-Torricelli点：

（x11，y11），（x12，y12），…，（x1n，y1n）

（x21，y21），（x22，y22），…，（x2n，y2n）

…

（xm1，ym1），（xm2，ym2），…，（xmn，ymn）

满足

i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。

则集结点（xij，yij）即为m个备选方案，n个属性的p个专家判断矩阵区间数的最优集结区间数。

2.2.3 基于PGSA算法的最优集结区间数的求解

模拟植物生长算法（Plant Growth Simulation Algorithm，PGSA）由中国学者李彤在2005年首次提出，这是一种受植物向光生长机理启发而提出的智能优化算法[17]。该算法将优化问题当成植物的生长空间，最优解是光源，模拟植物自然向光生长的特性，建立植物在不同光强度下快速生长的演绎方式。自PGSA创立之后，在解决线性规划、全局寻优等问题方面显现出了独特的优势，引起了国内外学者的广泛关注。在应用研究领域，PGSA凭借其快速的全局搜索能力和结果的高度准确性，解决了很多实际问题[18-21]。

利用PGSA，求解各专家偏好信息中的广义Fermat-Torricelli点步骤如下：定义每个生长点按照东西南北四个方向生长，按照相似的结构不停长出新的枝叶。假设新的枝叶的旋转角度为？琢=90°，枝干的长度为l/1000，l为有界闭箱的长度。

step1假设N维欧几里得空间中有一有界闭箱X，在有界闭箱X内随机均匀确定初始生长点am∈X;

step2求解各个生长点am的生长素浓度，也就是生长的概率：

step3根据步驟2计算的结果在[0，1]的闭区间里，以随机数来选择本次迭代的生长点am;

step4确定生长点am迭代的步长为l/1000，其按照？琢=90°的L-系统进行生长，每次迭代之后，用新的生长点中的集结点代替am，并进行新一轮的迭代计算;

step5当程序达到预设的迭代总次数，或者运算不再产生新的集结点am，则停止计算，获得局部最优解和全局最优解，否则转到step2;

将以上求得的各全局最优集结点组成矩阵，即是各位专家判断矩阵的集结矩阵。

3 实例分析

本文选取算例数据，四个重要性程度相同的专家（权重wi=1/4，（i=1，2，3，4））针对一个决策问题给出相应的偏好信息。这个决策问题有4个备选方案（S1，S2，S3，S4）和4个属性（P1，P2，P3，P4），P1，P2，P3为效益属性，P4为成本属性。假设4位专家（E1，E2，E3，E4）的偏好矩阵[9]如表1-4。

分别将E1，E2，E3，E4按照公式（4）、（5）规范化，得出如下4个矩阵，见表5～8表。

根据PGSA集结的专家综合规范化判断矩阵如表9：

文献[9]中根据加权平均法集结的专家综合规范化判断矩阵如表10：

本文提出的基于广义Fermat-Torricelli点的判断矩阵集结法将每位专家判断矩阵相对应的区间数以二维坐标的形式表示出来。因此，在二维空间内，可以用两点之间的实际距离——欧氏距离，表示针对方案i属性j集结的代表各专家综合意愿的点与各专家偏好点之间的偏差。各专家判断矩阵中m个方案、n个属性的m×n个偏好点与综合判断矩阵中对应m×n个集结点之间的距离总和即是专家综合判断矩阵与各专家判断矩阵之间的偏差。

用欧氏距离公式求得本文集结的专家综合规范化判断矩阵与各专家判断矩阵之间的偏差为：

S1=4.00521857

文献[9]中采用加权平均法集结的专家综合规范化判断矩阵与各专家判断矩阵之间的偏差为：

S2=4.94923887

？驻S=S2-S1=0.9440203

精确度提高了19%，本文集结的专家综合判断矩阵与各专家判断矩阵之间的偏差更小。由此可见，运用模拟植物生长算法（PGSA）集结的各专家判断矩阵更能反映4位专家的综合意愿，该方法解决了文献[9]中以平均值体现群决策的综合意愿所出现的“近似集结”问题。

运用上述“欧氏距离法”评判各位专家的水平，即：求解各位专家判断矩阵到综合判断矩阵之间的偏差dk（k=1，2，3，4）。

wmn为集结的专家综合判断矩阵中对应a综合意愿点。dk越小，则专家Ek偏离专家群体的程度越小，专家的水平越高;反之，偏离程度越大，专家的水平越低。

d1=0.589545，d2=0.099387，

d3=3.108023，d4=0.208264

由此对专家水平排序为：

E2？酆E4？酆E1？酆E3

即专家1水平最高，专家4次之，最次的是专家3。

本文借鉴文献[9]中提出的“理想点求贴进度”排序法，应用PGSA集结的矩阵进行计算排序，并与文献[9]的结果做对比：

根据定义3和4，专家Ek对方案i评价偏离专家群体的程度（相异度？啄）组成的矩阵为：

根据定义5，求得正、负理想点分别为：

u=（0，0165，0，0122，0.0486，0.0345）

v=（0.5575，0.9782，0.7613，0.6821）

根据公式（8）、（9）、（10），求得每位专家Ek与理想点的贴进度为：r1=0.7809，r2=0.9851，r3=0，r4=0.9383，r2？酆r4？酆r1？酆r3。

则排序结果为：

E2？酆E4？酆E1？酆E3

即专家1水平最高，专家4次之，最次的是专家3，这与前文中“距离法”排序结果一致。

文献[9]中的专家水平排序结果为：

E1？酆E4？酆E2？酆E3

与本文中的排序结果不一致。鉴于文献[9]中集结专家判断矩阵用的是加权平均法，难以精确反映专家综合意愿，以致后续的专家水平排序工作产生了误差，这也从侧面证明了本文提出来的用模拟植物生长算法（PGSA）集结基于广义Fermat-Torricelli点的判断矩阵方法的合理性。

4 结语

本文基于多专家多属性的区间数判断矩阵，提出了一种判断矩阵集结的新方法，将每位专家判断矩阵相对应的元素在平面上以二维坐标的形式表示出来，运用植物模拟生长算法（PGSA），计算出点集中的广义Fermat-Torricelli点，这个集结点代表了专家群体判断的综合意愿，各广义Fermat-Torricelli点组成的矩阵即为专家综合判断矩阵。通过比较专家判断矩阵与专家综合判断矩阵区间数对应点集的相对偏差，得到最优的专家水平排序结果。通过实例分析对比，验证了该集结方法优于加权平均法，并使后续的专家水平排序更加精确，且此方法对于专家属性较多情况可以用计算机实现，合理高效。

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