张茂清，汪 镭，崔志华，郭为安

(1.同济大学 电子与信息工程学院，上海 201804；2.太原科技大学 计算机科学与技术学院，山西 太原 030024；3.同济大学 中德工程学院，上海 201804)

0 引言

在实际工程应用中，有许多目标函数为2～3个的优化问题[1-3]，且目标函数间具有彼此冲突的特点，此类问题一般被认为NP-Hard问题。传统的方法，如线性规划、梯度下降等，由于对问题特征具有较为严格的要求，导致解决此类问题时要付出极为昂贵的时间代价，甚至在有限时间内无法获得满意解。进化算法的出现为此类问题提供了新思路。典型算法如NSGA-II[4]、SPEAII(improved strength pareto evolutionary algorithm)[5],以及NNIA(multi-objective immune algorithm with non- dominated neighbor-based selection)[6]等在此类问题上均表现突出。其中，NSGA-II作为多目标优化算法的典型代表，受到很多研究者的广泛关注。根据研究角度不同，可将近些年研究成果作如下分类。

就应用角度而言，NSGA-II及其改进方法已经被应用到许多实际优化问题中。为解决服装调度生产中最大完成时间和最小延期交货时间的问题，陆金芳[7]提出改进排序适应度和按需分层策略，极大提高了服装调度的效率。黄敏镁等[8]为了最大化供应链环境下协商Agent自身效用和合作企业建议相似度，采用了正整数和小数混合的实数编码方式，并在遗传操作中增加了约束限制，以剔除算法运行中产生不可行个体。在应急物流系统设计中，需要综合考虑系统总成本、总耗时以及道路安全性等问题。陈刚等[9]针对此问题特点提出了改进个体交叉和变异方式，并进一步将精英策略融入NSGA-II。在将NSGA-II应用于水污染修复管理模型时，NSGA-II不能有效地收敛到真实Pareto 前沿。为提升NSGA-II收敛性，宋健[10]提出将HCS(hill climber with step)融入NSGA-II，极大地提升了算法收敛能力。

在理论研究方面，NSGA-II也得到了极大的改进。为解决NSGA-II拥挤度距离机制无法有效区分多样性个体的缺陷，崔志华等[1]提出了基于平均距离聚类的多样性评价指标，并进一步提出了基于平均距离聚类的NSGA-II。受无免费午餐定理启发，陈辅斌等[11]提出将免疫平衡原理引入NSGA-II选择策略。为解决NSGA-II中拥挤度距离机制无法衡量个体周围个体密度的缺陷，王祥[12]提出将密度聚类思想融入到个体拥挤度评价机制，并进一步提出了个体邻域的构建方法。汪文文等[13]将禁忌搜索的思想融入精英保留策略，有效地平衡了全局搜索和局部搜索。为了拓展NSGA-II在高纬多目标优化问题上的性能，Yang等[14]提出利用基于网格支配的方法区分个体，并进一步利用网格支配产生后代。同样针对此类问题，Zhang等[15]提出将分解的思想引入到多目标优化问题中，可有效避免Pareto支配失效的问题。

虽然NSGA-II在理论和应用方面已经取得了很大的进步，但是采用的锦标赛策略会导致重复父代个体的产生，并由此导致后代多样性受到影响。为解决此问题，笔者从以下两方面进行改进，第一,引入Lévy分布，增加发现父代个体周围潜在较优个体的能力；第二，提出三交叉父代策略，进一步降低重复父代个体对后代多样性的影响。最后提出基于混合策略的NSGA-II(fast non-dominated sorting genetic algorithm II based on hybrid strategies,HSNSGA-II)。

1 基本概念以及锦标赛选择策略

1.1 基本概念

一个典型多目标优化问题可形式化表示如下[1]：

minF(X)=[f1(X),f2(X),…,fM(X)]，

(1)

s.t.X∈Ω,

式中：X=(x1,x2,x3,…,xD)是一个D维决策向量；Ω⊆Rn为决策空间；M为目标函数数量。由于多目标优化问题中不同目标间具有相互冲突的特点，导致不存在最优个体，而是最优解集。以下为多目标优化问题中的主要概念。

定义1:若变量X目标函数f(X)=(f1(X),f2(X),…,fM(X))T，变量X′目标函数f(X′)=(f1(X′),f2(X′),…,fM(X′))T，当且仅当对于∀i∈{1,2,…,M}，fi(X)≤fi(X′)成立，且存在k∈{1,2,…,M}，使得fk(X)

定义2：决策空间上所有Pareto最优解构成的集合称为Pareto最优解集。

定义3:Pareto最优解集在目标空间上对应解集合称Pareto前沿面。

1.2 基本NSGA-II框架以及缺陷分析

作为多目标优化领域里的典型代表算法，NSGA-II有两个核心策略，非支配排序和拥挤度距离。非支配排序用于强化种群个体间的选择压力，拥挤度距离用于评价个体的多样性，通过上述两种策略达到种群个体不断进化。种群更新主要过程可简述如下。

设P和Q分别为具有N个个体的父代种群和对应的子代种群。首先，将两种种群合并为C=P∪Q。为从合并的种群C中选择出N个后代个体，利用非支配排序策略对种群C进行操作，可得到多个Pareto前沿面。然后，从第1层前沿面开始，累积计算个体数量，直到第l层个体数量首次超过N。为从第l层选择出较优个体，利用拥挤度距离计算第l层个体中每个个体的拥挤度，选择拥挤度距离大的个体作为下一代个体。

NSGA-II中交叉操作和变异操作为常见操作，在此不再赘述。需要指出的是，NSGA-II中选择操作所用策略为锦标赛策略，描述如下：

(1) 确定每次选择个体数量，在此为2个。

(2) 从种群中随机选择个体，选择适应度值较优个体作为后代个体。

(3) 重复上述步骤(2)，直到达到预定个体数量。

从上述步骤可以看出，若个体I为第1层Pareto前沿面上个体，且具有较优多样性指标，则其在下次被选中的概率依然很大。

图1展示了采用锦标赛策略选择父代个体重复个体数量统计数据。采用测试函数为ZDT2,种群数量为50，关于测试函数详细信息在后续实验部分详细阐述。从上述统计数据中可以看出，每代都有平均15个个体的重复量，最高甚至达到32个重复个体。这些重复个体虽然携带了较优的基因，可以为后代个体提供较好的搜索方向，但是也造成了后代多样性较差的缺陷。

图1 重复个体数量统计Figure 1 Statistics of repeated individuals

2 基于混合策略的NSGA-II

针对NSGA-II上述缺陷，笔者提出引入Lévy分布策略和三交叉父代策略。下面简要介绍Lévy 分布策略，然后详细介绍本文改进算法。

Lévy分布概率密度函数可形式化表示如下：

L(δ)～u=t-1-δ, 0<δ<2,

(2)

其简化形式可表示如下：

L(δ)～φ·u/|v|1/δ，

(3)

其中，u和v是符合高斯分布的随机数,δ设置为1.5[13],φ定义如下：

(4)

图2展示了Lévy分布所生成的100个采样点取值。统计一下Lévy分布取值范围，可发现，93%的取值落在[-1.8,1.8]内。从图2可以看出，Lévy分布不仅可以使算法搜索聚焦于个体局部区域，也可使搜索跳出局部范围，增加后代多样性，避免陷入局部最优。

图2 Lévy分布采样点Figure 2 Sampling points with Lévy distribution

设P1、P2、P3分别为锦标赛选择策略所选出父代个体。原交叉算子可定义如下：

(5)

其中，beta是NSGA-II中定义参数，请参考文献[4]。

改进后交叉算子可表示如下：

(6)

式中：L即为上文所述L分布函数。从上式可以看出，Lévy起到扰动作用，可以极大增加发现父代个体周围潜在较优个体的概率，同时引入P3则可进一步减小父代个体为同一个个体的概率。

基于混合策略的NSGA-II伪代码如下。

1:初始化种群以及相关参数

2: While (是否满足结束条件) do

3: 快速非支配排序

4: 采用锦标赛策略，从种群中选择较优个体

5: 采用式(6)对父代个体执行交叉操作

6: 对个体执行变异操作

7: 环境选择，更新种群

8: End while

9:输出种群

3 实验结果及分析

3.1 参数设置

为综合测试笔者所提算法性能，将HSNSGA-II传统算法SPEA2[5]、PEASII[16]、NNIA[6]以及最近提出的算法MOEAIGDNS(multi-objective evolutionary algo-rithm based on enhanced IGD)[17]和ADCNSGA-II(NSGA-II with average distance clustering)[1]进行对比。注意，所有参数设置均按照原始参考文献设置，有兴趣读者请参阅文献[5-6,16-17]。实验所用计算机为Inter Core i 5-2400 3.10 GHz CPU,6.00 GB内存，Windows7操作系统，运行环境为MATLAB7.9。每个算法独立运行20次，对ZDT测试函数集最大迭代100次；对DTLZ1函数最大迭代700次；对DTLZ2、DTLZ4和DTLZ5函数迭代250次；对DTLZ3函数迭代1 000次；种群个体为50。

采用ZDT测试函数集[18]，这些函数具有凸、凹、连续、非连续和具有多重局部最优等特点；评价指标采用IGD[19]。IGD是一个综合指标，可同时评价算法收敛性和多样性，其值越小表示算法性能越优,定义为：

(7)

式中：P*为目标空间真实Pareto前沿面上均匀分布点的集合；P为算法所求解集；dist(v,P)为点v和集合P中点的最小欧几里得距离。

3.2 算法对比及分析

表1列出了笔者所提算法和对比算法在测试函数上的实验结果，每个结果为算法运行20次的IGD的均值与方差，最优结果用黑体显示。从上述实验结果可以看出，与传统算法相比，HSNSGA-II在ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ2、DTLZ5上表现均较为突出，仅在DTLZ1、DTLZ3、DTLZ4上表现较差。相比于最近提出的算法MOEAIGDNS 和ADCNSGA-II，可以看出HSNSGA-II仍然具有较大的优势。因此，综合上述实验结果，可以看出笔者所提策略明显地提高了NSGA-II的性能。

表1 实验结果对比Table 1 Comparison of experimental results

图3展示了HSNSGA-II和NSGA-II在ZDT3测试函数上的实验结果对比。从图3可以看出，HSNSGA-II可以搜索到右下角区域，而标准NSGA-II却无法有效搜索到该区域，说明所提混合策略可以提高后代个体的多样性并达到了预期，进一步验证了笔者所提策略的有效性。

图3 在ZDT3函数上实验结果对比Figure 3 Comparison of experimental results on ZDT3

4 结论

NSGA-II是多目标优化领域较为经典算法，然而其采用的锦标赛选择策略可导致重复选择父代个体，进而导致后代多样性受到影响。为解决此问题，笔者提出融合Lévy分布和三交叉父代的策略，第一个策略可有效强化搜索父代周围潜在个体的能力，第二个策略可进一步降低所选父代为同一个个体的现象。通过实验对比，验证了笔者所提算法在多个测试集上的有效性。