姜卫东

(江苏省扬州中学 225009)

随着高中数学里高等数学的含量进一步扩大，近几年在高考及模拟试卷中，经常会出现以高等数学为背景的试题，这些试题背景丰富、立意高远，既考查学生当下的数学素养，又考查学生将来的学习潜能.在解决它们时，由于学生知识与方法的限制，只能遵循“高等背景，初等解法”的原则.接下来，笔者就几种有高等数学背景的试题进行背景分析，并探究其初等解法.

一、高数的背景类型

1.以泰勒公式为背景

例1设函数f(x)=x(ex-1)-ax2,若当x≥0时，都有f(x)≥0,求实数a的取值范围.

初等解法：由于f(x)=x(ex-1-ax),又x≥0，故只需证明ex-1-ax≥0,设g(x)=ex-1-ax.g′(x)=ex-a.考虑到ex≥1,为确定g′(x)的正负，应分a≤1与a>1进行讨论.(1)若a≤1,则当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0,g(x)为增函数.而g(0)=0,从而当x≥0时，g(x)≥0,即f(x)≥0.(2)若a>1,则当x∈(0,lna)时，g′(x)<0,g(x)为减函数.而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时，g(x)<0,即f(x)<0.综合得a的取值范围为(-∞,1].

解法感悟：对于与泰勒公式有关的题型，解题的关键在于构造函数(而这个函数是由背景分析的逆推而来)，利用导数研究函数的相关性质，再根据函数的性质进行解不等式或不等式证明.在上面解题过程中，当a>1时，对于这种不符合题意的情形，只要找到一个区间，然后证明在此区间上不成立即可.

2.以拉格朗日中值定理为背景

例2已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.

解法感悟：对于与拉格朗日中值定理有关的题型，关键在于对不等式进行等价变形，根据式子的结构特征，构造同构函数，利用函数的单调性进行解题.

3.以伸压变换为背景

解法感悟：对于与伸压变换结合的题型，应先通过特定的位置(或情形)得到可能的定值，然后通过设点或设线的方法进行论证或求解.