林松云

(福建省柘荣县第一中学 355300)

高等数学为背景的高考函数试题是高考中一道亮丽的风景线，内容、形式及解答上均有耳目一新的感觉.高等数学为背景的高考函数试题比传统题型有一些鲜明的特点：情景新颖、背景公平，设问方式灵活；能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神.下面一起来欣赏高等数学为背景的高考函数试题.

一、以凸函数为背景

凸函数是高等数学非常重要的一类函数.自从导数引入高中数学教材后, 以凸函数为背景的考题备受命题者的青睐.

1.凸函数定义

当定义中等号恒不成立时，我们称此函数在[a,b]上是严格上凸的(或严格下凸的).

2.凸函数的判断

(1)若在(a,b)内f″(x)<0，则f(x)在(a,b)为上凸；

(2)若在(a,b)内f″(x)>0，则f(x)在(a,b)为下凸.

3.高考试题分析

(1)若曲线f(x)与曲线g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

(3)对(2)中的φ(a)和任意的a>0,b>0，证明：

(2)φ(a)=2a(1-ln2a).

二、以极限为背景

极限是整个高等数学的基础，在高等数学中有很多重要的概念和方法都和极限有关系，并且在实际问题中极限也占有重要地位.因此对极限思想的考查也就成为重要内容之一.

1.函数在正无限处极限的定义

若对任意给定的ε>0，存在X>0，当x>X时总有|f(x)-A|<ε，就称常数A为f(x)在正无限远处的极限，或者称A是当x→+∞时f(x)的极限，记为：

这时也称函数f(x)在正无限处极限存在.相仿地，可定义函数在负无限远处的极限.

2.高考试题分析

其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ).

A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④

答案：C.

点评本题从大学函数在正无……