廖永福 林永志

(1.福建省厦门第二中学 361009；2.福建省仙游于洁小学 351256)

递推公式是表示数列的一种方法，它揭示了相邻几项之间的关系，而项与项数之间的关系比较隐蔽，因此蒙上了一层神秘的面纱，给教学带来一定的困难.解决这类问题的关键是选择适当的方法去求数列的通项公式，常用的方法有：定义法、公式法、累加法、累乘法、构造法和归纳法等.现分述如下：

一、定义法

例1 (2020·全国卷Ⅱ) 数列{an}中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25，则k=( ).

A．2 B.3 C.4 D.5

分析令m=1，可得数列{an}是等比数列，求出数列{an}的通项公式，利用等比数列求和公式可列出关于k的方程，由k∈N*可求得k的值.

解答在等式am+n=aman中，令m=1，可得an+1=ana1=2an.

又a1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，an=2×2n-1=2n.

∴2k+1=25，则k+1=5，解得k=4.故选C.

点评本题考查递推公式和等比数列的求和公式，考查计算能力和方程思想.关键是由递推公式得出an+1=2an，进而得出数列{an}是等比数列，属于中等题.

二、公式法

例2 (2020·江苏卷))设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，则d+q的值是____.

分析由数列{an+bn}的前n项和Sn求出an+bn，再结合数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，求出d和q，进而求出d+q的值.

解答数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，

当n≥2时，an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1.

∵a1+b1=S1=1适合上式，∴an+bn=2n-2+2n-1(n∈N*).

又∵{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，

∴an=2n-2，bn=2n-1，

∴d=q=2，故d+q=2+2=4.

例3 (2012·全国卷大纲版)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n>1时，Sn=( ).

解法一由Sn=2an+1，得Sn-1=2an(n≥2).

点评本题考查递推公式与等比数列的通项公式、前n项和公式，考查推理能力与计算能力.消去an，还是消去Sn，要视具体情况而定，一般以简便为原则，属于中档题．

三、累加法

形如an+1-an=f(n)的递……