摘 要：本文分析了多个平面电感表达式，经与三维场求解器预测模型进行比较，为方形、六角形、八角形和圆形螺旋电感器的电感计算提出了简单而精确的新表达式。新的电感表达式与场求解器的电感值匹配通常在3%左右以内，比先前电感表达式高大约一个数量级。新电感表达式的匹配度在5%左右，而先前电感表达式的误差在20%左右。新的电感简单表达式能够满足准确设计和优化电感器或包含电感器的电路。

关键词：电感;集成电路;精确;简单

低成本射频集成电路（RF-IC）不断增长的需求为片上无源元件带来大发展。片上无源元件为电阻、电容和电感，片上电阻和电容易于建模和实现。片上电感器的实现相对较困难，对于电感器实现的设计和建模投入了大量精力，片上电感器实现较可行的方案是引线键合和平面螺旋几何形状。尽管引线键合可以实现较高的品质因数（Q，Quality），但典型的Q值在20至50范围内，电感值易受到限制，并且易对生产波动非常敏感。另一方面，平面螺旋电感器具有有限的Q，但是其电感在广泛的工艺变化范围内具有很好的稳定性。平面螺旋电感器已成为通信电路块的基本元件，例如压控振荡器（VCO，Voltage Controlled Oscillator），低噪声放大器（LNA，Low Noise Amplifier），混頻器（Mixer）和中频滤波器（IFF，IF Filter）。

使用集总电路对螺旋电感器进行建模，可以通过求解来精确麦克斯韦方程计算电感。一个非常精确的数值解可能通过使用三维（3-D）有限元获得模拟器，例如MagNet。但是，3D模拟器计算量大，需要较长的运行时间，因此更适合验证电感的设计。另一种技术是使用温室方法计算电感，温室方法提供了足够高的准确性和足够快的速度，但不能直接提供电感器设计规格的限制，并且对于初始设计而言很繁琐。在设计中可以使用一个简单的近似值电感表达式，虽然简单表达式能够计算出正确的电感数量级，但典型误差为20%或更大，这对于电路设计和优化而言是难以接受的。

本文中建立了方形、六角形、八边形和圆形的电感平面电感器新的近似表达式。近似表达式由三个表达式组成：（1）近似值基于修改后的惠勒开发的表达规范;（2）通过近似地从电磁原理得出螺旋的侧面作为电流表;（3）从拟合到大型数据库中得出的单项式表达式电感的数量及精确的电感值。这三个表达式都是准确的，典型误差为2～3%，并且非常简单，因此非常适合用于电感设计和综合。

近似表达式的准确性可以通过两种方式进行评估：使用场求解器模拟以及使用测量数据。使用ASITIC程序实现了仿真，ASITIC程序是一种简化的现场求解器，用于设计电感器和变压器。仿真时电感器的dout在100～480μm之间变化，L在0.5～100nH之间变化，w在2μm～0.3dout之间变化，s变化范围在2μm～3μm，din在0.1～0.9dout之间变化。使用ASITIC程序对电感器进行模拟，涵盖了用于RF电路设计的整个设计空间。

1 电感模型优化

1.1 优化惠勒公式

惠勒电感器模型提出了平面螺旋线的公式，公式可用于离散的电感器。对惠勒电感器模型进行修改，以获得对平面螺旋集成电感器有效的表达式公式1。

Lmw=K1μ0n2davg1+K2ρ（1）

其中ρ是先前定义的填充率，表示电感器空心程度。对于数值较小的ρ，电感器为一个空心电感（dout≈din），对于数值较大的ρ，则可以得到完整电感器（doutdin）。具有相同平均直径但填充率不同的两个电感器将具有不同的电感值。完整的电感具有较小的电感，因为其内部匝数更接近螺旋的中心，因此表现表现出较小的正互感和较大的负互感。

1.2 平面螺旋电感几种近似的精确表达方式

平面螺旋电感的简单而精确的表达式还可以等效电流密度的对称电流表来确定螺线。例如，在正方形的情况下，获得四个相同的当前工作表。相对极板上的电流板彼此平行，而相邻的板正交。基于对称性和具有正交电流极板间的互感为零，可以将电感的计算简化为计算一块板的自感和相对电流板之间的互感。自感和互感使用几何平均距离（GMD，Geometrical Mean Distance）、算术平均距离（AMD，Arithmeticl Mean Distance）和算术平均平方距离（AMSD，Arithmeticl Mean Square Distance）的概念进行评估。表达式如公式（2）所示：

公式（3）非常准确且非常简单，它的实际用途可以通过使用地磁前馈法来优化电感器和包含电感器的电路的设计，这是一种使用单项式模型的优化问题。

2 误差分布分析

图1①显示了与使用场解算器ASITIC计算出的电感相比，先前电感表达式的误差分布。将电感L的近似值L^的绝对百分比误差定义为100（L^-L）/L。水平轴给出绝对百分比误差水平，垂直轴显示误差超过指定水平的电感器比例。误差分布曲线越接近到y轴，则表达式越精确。可以从曲线确定一些重要的统计数据。通过在50%的水平线上跟随水平线，可以读取每个近似值的中值误差。通过以一定误差水平跟随一条垂直线，可以找到近似值相对准确的电感值，最大误差由曲线到达x轴的点给出。

这与克洛斯的表的情况相对应。中位数误差约为18%;还可以看到最大误差约为25%。上述所有表达式均具有明显的平均失调误差，倾向于高估或低估电感。但是，即使将表达式缩放为零平均误差（通过将每个表达式乘以一个恒定的校正因子或添加一个固定的偏移量），误差通常仍可达15～20%，在某些情况下会更大。

图②显示了绝对误差分布的表达式。在图①中，由于这里的误差较小但是水平误差较小。该图显示典型误差在1～2%的范围内，并且大多数误差小于3%，几乎比先前文献记载的表达式高一个数量级。新的电感表达式虽然在复杂性上可以与以前报道的表达式相比，但是却显示出更好的准确性。

图③将实验值与先前文献记载的表达式预测的电导率进行了比较，图④将实验值与本文公式以及ASITIC预测的电感进行比较。显然与以前文献记载的表达式相比，新的表达式表现出的误差要小得多。尤其在实验与表达式之间的误差接近20%的这一少数情况下，这表明在校准或参数提取中存在大量测量误差。

3 测量结果分析比较

将所有近似表达式预测的电感值与30个测得的电感值进行比较。在表3中，将测得的电感值与各种表达式预测的值进行了比较。表3所示的前5个电感器是使用0.35μm CMOS工艺的最高金属水平（厚度为0.9μm）制造的。其余电感器的数据是从以前发表的文献中获得。

还可以将公式的准确性放在螺旋电感器的其他变化和不确定性的背景下进行讨论。对于螺旋电感设计，建模和仿真的主要限制是由于工艺变化而导致的氧化物厚度不确定性。工艺变化可能导致电感器模型中的寄生电容变化约5%～10%。这些变化转化为螺旋线阻抗的不确定性，其大小与新的表达式所引入的误差相同。这种局限性表明，没有必要使用比所获得的精度更高的电感表达式，并且表达式可以用于电路设计和优化。

4 结论

在本文中，为方形、六边形、八边形和圆形的螺旋电感器提供了三个简单的近似匹配表达式。公式（1）表达式为修改后的Wheeler表达式，是通过修改Wheeler为分立电感器获得的表达式获得的。该表达式很简单，并且具有非常好的准确性。公式（2）是从电磁原理得出的，方法是用电流分布均匀的电流板近似螺旋的侧面。该表达式是直观的，并且在形式上类似于用于更常规的元件的电感表达式。公式（3）是通過数据拟合技术获得的。尽管它缺乏其他两个近似值的直观推导，但它非常适合使用几何编程进行电路优化。

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作者简介：邹玉东（1971—），男，汉族，河南安阳人，本科，电气技术中级，研究方向：电力电子。