赵凯，樊建房

1.山东高速工程检测有限公司，山东 济南 250000；2.山东鲁东路桥有限责任公司，山东 东营 257000

0 引言

斜拉桥是通过斜拉索提供的初始张力和刚度，实现跨越能力提升的一种复杂的高阶超静定结构。拉索的成桥索力在斜拉桥的设计中尤为重要，决定着结构的安全与否［1］。目前，针对斜拉桥的索力计算提出很多方法。文献［2-4］采用优化零位移法确定斜拉桥拉索的索力；文献［5-7］采用优化刚性支撑连续梁法获得斜拉桥的合理恒载索力；文献［8-10］采用应力平衡法优化斜拉桥的恒载索力；文献［11-13］采用弯曲能量最小法确定斜拉桥的恒载索力；文献［14-16］分别采用线性规划算法、最小二乘法、罚函数法等数学方法优化斜拉桥的恒载索力；文献［17］以某主跨318m的钢箱梁斜拉桥主梁和桥塔的弯曲能量为目标函数，采用乘子-Newton优化算法确定钢箱梁斜拉桥的合理成桥状态；文献［18］以结构最小加权弯曲应变能为目标函数，以索力、位移、弯矩为约束条件建立斜拉桥成桥索力优化模型，并采用多种群遗传算法优化大跨斜拉桥的成桥索力；文献［19］依据影响矩阵调值原理，提出以结构整体弯矩最小为目标，关键节点的位移为约束条件的斜拉桥索力优化方法。随着优化理论与方法的发展，出现了遗传算法、粒子群算法等诸多智能算法［20-21］，其中粒子群算法具有理论易懂、参数少、收敛快速等特点。本文采用粒子群优化算法对斜拉桥恒载索力进行优化，以主梁与主塔的弯曲能量为目标函数，并限定约束条件，通过罚函数将目标函数与约束条件转变为无约束优化问题，利用粒子群算法计算斜拉桥在恒载作用下的最优索力，并结合实际应用工程，通过与其他算法结果进行对比，分析粒子群优化算法的可靠性与优越性。

1 斜拉桥恒载索力优化模型

1.1 目标函数

以主梁与主塔的弯曲能量为目标函数，通过优化该目标函数，可全面反映主梁和主塔结构的位移和内力状态［22］。该目标函数为：

式中：M为截面弯矩，E为材料弹性模量，I为截面惯性矩。

采用有限元方法将结构离散为杆系单元时，假设各单元的材料弹性模量Ei和截面惯性矩Ii在单元长度内不变，则

式中：m为主梁和桥塔单元的数量，Li为第i个单元的杆件长度，Mli、Mri分别为第i个单元左右端的弯矩。

1.2 设计变量

把成桥状态斜拉索的索力视为未知量，设斜拉桥全桥共有完全独立的n对拉索，则n对拉索的索力

式中T1、T2、…、Tn分别为各对斜拉索的索力。

1.3 约束条件

1.3.1 索力

为了保障斜拉索建模的准确性，拉索使用过程中最小索力都应大于0，最小索力可通过拉索的使用效率确定。所以，拉索索力的约束条件为：

式中Tu、Tl分别为索力的上下限值。

1.3.2 索力的均匀性

若仅以式（3）作为约束条件，优化过程容易收敛到一个波动较大的索力分布结果，显然这种索力分布是不合理的，因此加入对索力均匀性的约束。引入相邻斜拉索的不均匀索力矩阵来约束相邻索力间的均匀性要求。设相邻连续3根斜拉索的索力分别为Ti-1、Ti、Ti+1，则定义不均匀索力

写成矩阵形式为：

则索力均匀性的约束条件为：

式中：Z1和Zu分别为不均匀索力的上下限值，其合理值可由试算确定。

1.3.3 位移

斜拉桥在恒载作用下的索力优化主要考虑主梁与主塔的弯矩及应力，主梁与主塔的位移可利用设置预拱度的方法调整，结构变形能直观反映全桥的设计是否合理，因此，有必要设置位移约束条件［23］。主梁与主塔位移的约束条件为：

式中Su、S1分别为主梁与主塔位移的上下限值。

1.3.4 应力

在恒载作用下，斜拉桥的主梁弯矩分布均匀，主梁各构件应力包络规范，主梁以及主塔的截面应力不超限。主梁与主塔的应力的约束条件为：

式中σu、σl分别为主梁与主塔截面应力的上下限值。

1.4 优化模型的建立

综上所述，索力优化的数学模型为：

式中：f（t）为索力优化的目标函数，gj（t）为约束函数，k为约束条件的数目。

2 粒子群算法索力优化

2.1 粒子群算法的基本原理

粒子群优化算法（particle swarm optimization algorithm，PSO）是一种基于群智能的寻优计算方法。粒子群算法的原理是把每个个体视为在N维搜索空间中以一定速度飞行的粒子，每个粒子都有自己的位置、速度以及适应度（适应度可通过目标函数确定），同时每个粒子都会在移动过程中不断记下自己所到达过的最好位置以及目前所在的位置。除此之外，该群中的每个粒子都会将自身信息分享，即每个粒子都会获得至今为止整个粒子群体中所经历过的最好位置。粒子就是不断利用自己的经验和与群体成员的经验分享来决定自身运动，从而到达整个N维空间里的最佳位置［24-25］。

2.2 索力优化求解步骤

采用粒子群算法对斜拉桥恒载索力进行优化，算法流程如图1所示。

1）根据预应力混凝土斜拉桥的结构尺寸和材料参数，建立斜拉桥有限元模型，划分单元，提取Li、Ii及 Ei的矩阵；

2）对斜拉桥赋予单位初拉力，进行结构分析，确定索力、位移、弯矩等的影响矩阵，计算结构在恒载作用下的索力、位移、弯矩等，建立索力优化的目标函数；

3）明确索力优化的约束条件，利用罚函数法将约束条件及目标函数转变为无约束的最优化问题；

4）运用MATLAB编写粒子群算法程序，初始化粒子的位置和速度，调用无约束目标函数计算其适应度，同时找寻单体及群体极值，利用速度和位置的更新方程重新确定粒子的速度和位置；

5）判断上一步计算结果是否满足终止条件，若达到终止条件，则停止迭代，所得结果即为所求斜拉索拉力；如果不满足，则重新计算适应度值，并不断迭代直到满足条件为止。

图1 粒子群优化算法流程

3 工程实例

3.1 工程概况

某预应力混凝土斜拉桥为双塔斜拉桥，跨径为660（50+120+320+120+50）m。斜拉索布置在中跨及边跨，索面为竖琴式，双索面布置。索塔为柱式结构，其非锚固区段采用普通钢筋混凝土，牛腿采用预应力混凝土结构。该双塔斜拉桥立面布置如图2所示（图2中单位为cm），主要材料参数如表1所示。

图2 某双塔预应力混凝土斜拉桥总体布置

表1 预应力混凝土双塔斜拉桥主要材料参数

3.2 有限元模型

采用MIDASCIVIL 2013建立该桥有限元模型，考虑全桥在纵桥向对称布置，故仅取左半桥为研究对象。主梁建模采用“鱼骨形”模拟，通过桁架单元模拟斜拉索，通过弹性连接模拟主梁及拉索的联系，主塔及主梁的边界条件按照实际状况添加。通过有限元软件建模计算时，忽略施工阶段的影响因素，采用一次落架方式计算。左半桥有限元模型如图3所示。

3.3 优化模型

利用式（4）（5），通过主梁结构最小弯曲应变能优化恒载斜拉桥的索力，同时考虑斜拉索的疲劳效应，并限定成桥约束条件。

1）索力约束条件。2000 kN≤Ti≤0.4fpkiAi，其中fpki为第i号斜拉索的标准抗拉强度，Ai为第i号斜拉索的截面面积。索力均匀性约束条件上、下限分别为800 kN、-800 kN。

2）位移约束条件。 主梁：-20 mm≤δi≤100 mm，主塔：-20 mm≤δi≤30 mm；

3）应力约束条件。 主梁与主塔：-15 MPa≤σi≤0.5 MPa。

将上述约束条件通过罚因子添加到式（7）中，根据文献［26］将有约束目标函数扩展为无约束目标函数

式中：μ为约束控制参数；αj为罚因子，j=1，2，…，z，z为约束条件数；gi（t）为约束条件。

3.4 优化分析结果

为保障粒子群算法的准确性，把优化计算的数据与刚性支承连续梁法和无约束最小弯曲能量法的计算数据进行对比分析。在恒载作用下，以式（8）为目标函数计算得到斜拉索索力分布如图4所示。刚性支承连续梁法及无约束最小弯曲能量法的优化索力分布如图5所示。

图3 左半桥有限元模型

图4 粒子群优化算法斜拉索索力分布

图5 刚性支承连续梁法与无约束最小弯曲能量法斜拉索索力

由图4可知：拉索索力为6 114.53～8 919.71 kN，最大索力在边跨侧斜拉索B10处，最小索力在边跨侧斜拉索B22处，拉索索力分布较为均匀。由图5可知：用刚性支承连续梁法优化的索力分布不均匀，且出现负索力，与实际情况相悖，这是由于该方法只考虑主梁位移及受力情况所致；无约束最小弯曲能量法优化后的索力也出现负值，原因可能是缺少约束条件。

在恒载作用下，3种算法得到的主梁应力分布如图6、7所示（图中主梁纵向位置指主梁至主塔的纵向距离）。由图6可知：主梁上缘未出现拉应力情况，符合全预应力混凝土设计要求；粒子群算法优化得到主梁上缘最大压应力为12.6 MPa，与刚性支承连续梁的优化结果相比小30.1%，与无约束最小弯曲能量法的优化结果相比大11.9%，但远小于混凝土主梁设计抗压强度。由图7可知：恒载作用下粒子群优化算法所得主梁下缘未出现拉应力，主梁下缘最大压应力为12.9 MPa，比刚性支承连续梁的优化结果小37.8%，比无约束最小弯曲能量法的优化结果大15.5%。由于本文粒子群优化算法是在给定的约束条件下优化寻找最优索力，优化后的主梁应力比无约束最小弯曲能量法优化所得结果略大，这在情理之中。

图6 恒载状态主梁上缘应力分布

图7 恒载状态主梁下缘应力分布

恒载作用下3种算法得到主塔的应力分布如图8、9所示（图中主塔纵向位置指主塔距上下塔柱分界面的纵向距离）。图8、9左侧纵坐标对应粒子群算法与无约束最小弯曲能量法优化后主塔截面的应力，右侧纵坐标对应刚性支承连续梁优化后主塔截面的应力。由图8、9可知：粒子群优化算法所得主塔截面边跨侧及中跨侧均未出现拉应力情况，主塔截面最大压应力边跨侧为12.5 MPa、中跨侧为9.06 MPa；无约束优化最小弯曲能量法优化所得主塔截面最大压应力边跨侧为10.2 MPa、中跨侧为9.54 MPa。2种方法优化结果差别不大。刚性支承连续梁优化所得主塔的最大压应力与拉应力分别为88.4、71.9 MPa，大大超出了主塔混凝土的极限强度。

图8 恒载状态下主塔边跨侧应力分布

图9 恒载状态下主塔中跨侧应力分布

4 结论

1）刚性支承连续梁法由于仅考虑了主梁的位移和弯矩，导致索力分布不均匀且出现负索力现象；无约束最小弯曲能量法未限定约束条件，结果亦不能满足实际要求，两者均需要大量的人为调索工作。

2）粒子群优化算法能在给定约束条件下寻找最优状态，使斜拉桥在给定状态下索力分布均匀，主梁、主塔应力合理，且结构位移能控制在约束条件内；该方法建模简单、计算方便、结果精确，降低了利用无约束最小弯曲能量法及刚性支承连续梁法优化索力时人工调索的影响，从而更易获得接近真实成桥状态的索力。