李远飞, 肖胜中, 郭连红, 曾 鹏

(1. 广东财经大学华商学院 数据科学学院, 广州 511300; 2. 广东农工商职业技术学院, 广州 510507)

1 引言与预备知识

Saint-Venant原理[1]在应用数学领域应用广泛, 其早期研究主要集中于椭圆方程的初边值问题, 此后各种类型的抛物方程得到广泛关注[2-7]. 通常情况下, 研究抛物方程的空间性质时需假设在柱体的无限端解趋于零或趋近于一个瞬态层流, 并通常假设在柱体的侧面上满足零边界条件. 经典的二择一定理不必假设方程组的解在无限端趋于零, 而是证明调和函数随与有限端距离的增大或者呈指数(多项式)增长, 或者呈指数(多项式)衰减. Horgan等[8]考虑了定义在一个柱体区域Ω⊂3上的Laplace方程, 假设解在Ω的边界上满足非线性条件, 证明了Laplace方程的解或者指数式(或多项式)增加, 或者指数式(或多项式)衰减; 如果在柱体的侧面上施加不同的非线性条件, 利用文献[9]的方法, 文献[10]得到了解的二择一定理； 文献[11]研究了二维双调和方程的Phragmén-Lindelöf二择一定理, 并着重考虑了3种不同的半无穷柱体区域； 文献[12]给出了二维瞬态的Stokes 流体方程的二择一结果； 文献[13]考虑了定义在一个三维柱体上的稳态拟线性方程

(ρ(x,u,u)u,i),i=f(u),

当方程的解在柱体的侧面上满足零边界条件或其次Neumann边界条件时, 通过对非线性项做出一定的限制, 得到了解的二择一定理.

本文令Ω表示三维区域上的半无限柱体,Dz表示Ω在x3=z处的横截面,D表示Ω在坐标平面x1Ox2上的横截面, 即Ω={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3>0}. 令∂Dx3表示Dx3的边界,z是x3轴上的一个动点,……