赵新宇，赵则祥，刘如意，窦武阳

(1.中原工学院 计算机学院，河南 郑州 451191；2.中原工学院 机电学院，河南 郑州 451191)

0 引 言

对于高精度的圆柱孔和轴，其不仅有较高的尺寸精度要求，而且有较高的几何精度要求，分别根据GB/T 1800[1]和GB/T 1182[2]等国家标准标注和控制，但相配合的孔、轴的可装配性和配合性能是由实际尺寸和形状误差综合作用的结果。

ISO/TC 213在ISO 14405.1[3]中，将实际尺寸与形状误差综合作用的结果用全局尺寸表征，全局尺寸包括最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大内切尺寸和最大最小尺寸。Ze-xiang ZHAO等[4-5]对圆柱体全局尺寸的测量以及偏心、倾斜对圆柱体全局尺寸评定结果的影响问题进行了研究。圆柱体全局尺寸中的最小外接尺寸、最大内切尺寸和最大最小尺寸的评定，其实质是一个‘minimax’问题，分别与圆柱度误差评定中的最小外接法、最大内切法和最小区域法对应。

许多学者对圆柱度误差评定中优化算法进行了研究。YANG Y等[6]提出了一种改进的协调搜索算法；ZHENG P等[7]采用运动学几何优化算法，实现了圆柱度误差的最小区域法评定；宗涛等[8]提出了双圆心拟合与网格逼近的优化算法；史栩屹等[9]将二次插值鲸鱼优化算法应用于圆柱度误差的评定；赵艺兵等[10]采用拟粒子群进化算法对坐标测量机提取的圆柱体轮廓进行了圆柱度误差的评定。

上述圆柱度误差评定所用的优化算法均可用于圆柱体全局尺寸的评定。为了使评定结果更加直观，需要对评定结果可视化。

本文以局部放大的圆柱体圆周轮廓为基础，研究圆柱体全局尺寸评定结果的可视化。

1 圆柱体圆周轮廓的可视化

已知圆柱体圆周轮廓上所有采样点到工作台回转轴线的径向距离，可求得上述距离值的均值，即：

(1)

式中：ρij—第i圆周轮廓上第j采样点到工作台回转轴线的径向距离；m—圆周轮廓数；n—每个圆周轮廓上的采样点数。

为使圆周轮廓的可视化，笔者对圆周轮廓进行局部放大，局部放大后第i圆周轮廓第j采样点到工作台回转轴线(z轴)的径向距离可表示为：

ρAij=R+(ρij-R)×A

(2)

式中：A—局部放大倍数。A值过大，显示的圆周轮廓变形；A值过小，起不到轮廓局部放大的作用，A值的选择，满足圆周轮廓适宜放大即可。当A为1时，局部放大后圆周轮廓的ρAij就是实际圆周轮廓的ρij。

圆柱体局部放大后的圆周轮廓在oAxAyAz坐标系中的示意图如图1所示。

图1 局部放大后的圆周轮廓在oA xA yA z坐标系中的示意图dAij—局部放大后的第i圆周轮廓第j采样点到全局尺寸圆柱面轴线的垂直距离，全局尺寸圆柱面可以是最小二乘圆柱面、最小外接圆柱面、最大内切圆柱面、最大最小圆柱面等4种全局尺寸圆柱面之一；eLi(xLi,yLi,zi)—全局尺寸圆柱面的轴线与局部放大后的第i圆周轮廓所在平面的交点；eL1(xL1,yL1,0)—全局尺寸圆柱面的轴线在xA oA yA平面上的坐标；oAi—工作台回转轴线与局部放大后的第i圆周轮廓所在平面的交点

局部放大后的第i圆周轮廓示意图如图2所示。

图2 局部放大后的第i圆周轮廓示意图lLi—eLi与oAi之间的距离；θLi—oAieLi与xAi轴之间的夹角；rAij—局部放大后的第i圆周轮廓第j采样点到eLi的距离；φij—局部放大后的第i圆周轮廓第j采样点与xAi间的夹角

lLi和θLi由下式确定:

(3)

由图2可知：局部放大后的第i圆周轮廓第j采样点的ρAij可表示为：

(4)

2 局部放大后的全局尺寸的确定

依据图1所示的圆周轮廓采用圆柱度误差评定方法(最小二乘法、最小外接法、最大内切法和最小区域法)，可得到相应的全局尺寸圆柱面，全局尺寸圆柱面的直径即为圆柱体局部放大后的全局尺寸。圆柱体全局尺寸的最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大内切尺寸和最大最小尺寸分别对应于最小二乘圆柱面、最小外接圆柱面、最大内切圆柱面和最大最小圆柱面。

根据图1，笔者建立最小二乘圆柱面的方程：

(5)

式中：RAL—最小二乘圆柱面的半径。

式(5)中的全局尺寸圆柱面为最小二乘圆柱面。

式(5)是一个非线性最小二乘方程。由于圆周轮廓提取前已进行了调心调平处理，lLi较小，式(5)中的dAij可由图(2)中的rAij代替，并假设式(4)中的[lLisin(φij-θLi)]2≈0，式(3)可近似表示为：

ρAij≈lLi(cosφijcosθLi+sinφijsinθLi)+rAij=
lLicosθLicosφij+yLisinφij+rAij=
xLicosφij+yLisinφij+rAij

则有：

rAij=ρAij-xLicosφij-yLisinφij

(6)

式中：xLi，yLi—最小二乘圆柱面轴线在第i圆周轮廓平面内的xAi和yAi坐标值。

xLi和yLi可由下式确定：

(7)

式中：xL1—最小二乘圆柱面轴线在xAoAyA平面上的xA的坐标值；yL1—最小二乘圆柱面轴线在xAoAyA平面上的yA的坐标值；pL—最小二乘圆柱面轴线参数cosαL/cosγL，αL，γL—最小二乘圆柱面轴线与xA和z轴之间的夹角；qL—最小二乘圆柱面轴线参数cosβL/cosγL，βL—最小二乘圆柱面轴线与yA轴之间的夹角；zi—局部放大后的第i圆周轮廓与xAoAyA平面之间的距离。

将式(5)的非线性最小二乘问题转化为线性最小二乘问题，即：

(8)

将式(8)分别对xL1,yL1,pL,qL和RAL求偏导，并令其为0，可得到五元一次方程组。解该方程组，即可得到最小二乘圆柱面轴线参数xL1,yL1,pL,qL和圆柱体轮廓局部放大后的最小二乘圆柱面直径，即：

(9)

依据最小外接尺寸、最大内切尺寸和最大最小尺寸的定义，最小外接尺寸DAC、最大内切尺寸DAI可用优化函数表示：

(10)

式中：XAC—最小外接圆柱面的轴线参数，XAC=[xC1,yC1,pC,qC]T；XAI—最大内切圆柱面的轴线参数，XAI=[xI1,yI1,pI,qI]T。

最大最小尺寸DAZ可由下式确定：

(11)

式中：XAZ—最大最小圆柱面的轴线参数，XAZ=[xZ1,yZ1,pZ,qZ]T。

式(10)和式(11)中的dAij可由下式得到：

(12)

式中：T—全局尺寸圆柱面的类型，T可为L、C、I、Z之一，分别代表最小二乘圆柱面、最小外接圆柱面、最大内切圆柱面和最大最小圆柱面的轴线参数。

3 全局尺寸圆柱面的可视化

3.1 全局尺寸圆柱面轮廓坐标的确定

全局尺寸评定结果的可视化实质上是全局尺寸相对应的圆柱面的可视化。全局尺寸圆柱面的可视化首先要确定全局尺寸圆柱面轮廓的坐标值。

由于全局尺寸圆柱面的轴线与z轴间不平行，全局尺寸圆柱面在平行于xAoAyA平面的截面上的轮廓为一椭圆，如图3所示。

图3 全局尺寸圆柱面轴线倾斜时的椭圆轮廓示意图ETL—椭圆轮廓的长半轴长；ETS—椭圆轮廓的短半轴长；γT—全局尺寸圆柱面的轴线与z轴间的夹角

ETL和ETS可由下式确定：

(13)

当全局尺寸圆柱面的轴线与z轴不重合时，全局尺寸圆柱面椭圆轮廓在xAoAyA平面上的投影如图4所示。

图4 椭圆轮廓在xA oA yA平面上的投影示意图λT—椭圆轮廓长轴在xA oA yA平面上与xA轴间的夹角

λT可由下式确定：

(14)

全局尺寸圆柱面第i轮廓第j采样点到z轴的径向距离为：

(15)

式中：a,b，c—一元二次方程中的3个参数。

a,b，c可分别由以下各式确定：

(16)

(17)

(18)

当ρTEij确定后，全局尺寸圆柱面上轮廓的三维坐标可由下式确定：

(19)

确定轴线在xAoAyA平面和第m圆周轮廓平面上的坐标，即可实现圆柱面轴线的可视化，其坐标可由下式确定：

(20)

式中：k=1，z1=0，k=m，zm=L；L—轴向测量长度。

3.2 程序编制

最小外接圆柱面、最大内切圆柱面和最大最小圆柱面的直径通过对式(10)和式(11)优化问题采用Matlab中的‘fminimax’函数获得，最小外接圆柱面、最大内切圆柱面和最大最小圆柱面的轴线的优化初始值均是最小二乘圆柱面的轴线参数值。

圆柱体局部放大后的轮廓坐标、全局尺寸圆柱面的轮廓坐标和全局尺寸圆柱面轴线两端点的坐标确定后，可将Matlab中的plot3三维绘图函数与hold on语句组合使用，把m个局部放大圆周轮廓、全局尺寸圆柱面的m个椭圆轮廓、全局尺寸圆柱面的轴线呈现在一张图上。

对于圆柱体全局尺寸圆柱面的显示，可将m个椭圆轮廓的坐标利用Matlab中的surf或mesh函数显示。

4 实验及结果分析

在Talyround 585LT圆柱度仪上，笔者对一孔进行了圆周轮廓提取，并将圆周轮廓数据以‘.CVS’格式导出。孔的公称尺寸D为51.5 mm，测量长度L为100 mm，圆周轮廓数m为21，每个圆周轮廓的采样点数n为2 000。

笔者用所建立的模型编制的程序，对被测孔的轮廓进行了全局尺寸的评定。该孔的最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大内切尺寸和最大最小尺寸分别为50.994 8 mm、51.016 mm、50.976 8 mm和50.996 7 mm。

为简化起见，笔者仅给出了局部放大后的圆周轮廓、最小外接尺寸圆柱面及其轴线2种可视化方法的显示，如图5所示。

图5 最小外接圆柱面与最小外接尺寸

由图5可知：xA和yA的坐标并不是真实的坐标，而是局部放大后轮廓的坐标，轮廓局部放大倍数为500；2种可视化方法均能较清晰地显示被测孔的圆周轮廓、全局尺寸圆柱面及其轴线，图中的MC表示最小外接评定方法。

5 结束语

以局部放大的圆柱体圆周轮廓为基础，笔者建立了确定圆柱体最小二乘圆柱面、最小外接圆柱面、最大内切圆柱面和最大最小圆柱面的尺寸和轴线参数的模型；由全局尺寸圆柱面的尺寸和轴线参数，建立了全局尺寸圆柱面轮廓坐标的生成模型，并提出了全局尺寸圆柱面及其轴线的2种可视化方法；基于所建立的模型，笔者编写了圆柱体全局尺寸的评定及其可视化程序，并对一个孔的全局尺寸进行了评定及其结果显示，给出了基于圆柱面轮廓法和surf圆柱面法的最小外接尺寸评定的可视化结果。

可视化结果表明：笔者所建模型正确，圆周轮廓、全局尺寸圆柱面及其轴线的2种可视化方法的结果直观清晰；2种可视化方法也可用于圆柱度误差评定中的图形显示。